Ensembles finis Exemples

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

Étape 2

Résolvez $A$ .

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Étape 2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Étape 2.2

Définissez $\sin (2 A)$ égal à $0$ et résolvez $A$ .

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Étape 2.2.1

Définissez $\sin (2 A)$ égal à $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

Étape 2.2.2

Résolvez $\sin (2 A) = 0$ pour $A$ .

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Étape 2.2.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$2 A = \arcsin (0)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 A = 0$

Étape 2.2.2.3

Divisez chaque terme dans $2 A = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 A = 0$ par $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.3.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$A = 0$

Étape 2.2.2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 A = 180 - 0$

Étape 2.2.2.5

Résolvez $A$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Simplifiez

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Étape 2.2.2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 A = 180 + 0$

Étape 2.2.2.5.1.2

Additionnez $180$ et $0$ .

$2 A = 180$

Étape 2.2.2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 A = 180$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 A = 180$ par $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Étape 2.2.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Étape 2.2.2.5.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{180}{2}$

Étape 2.2.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.5.2.3.1

Divisez $180$ par $2$ .

$A = 90$

Étape 2.2.2.6

Déterminez la période de $\sin (2 A)$ .

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Étape 2.2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 2.2.2.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 2 |}$

Étape 2.2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{360}{2}$

Étape 2.2.2.6.4

Divisez $360$ par $2$ .

$180$

Étape 2.2.2.7

La période de la fonction $\sin (2 A)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.3

Définissez $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ égal à $0$ et résolvez $A$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ égal à $0$ .

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ pour $A$ .

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Étape 2.3.2.1.1.2

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Étape 2.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.2.3.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (A)$ par $1$ .

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.3.2.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.3.2.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.3.2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.2.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.3.2.5.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.3.2.5.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.3.2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3.2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.3.2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.3.2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.2.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $A$ .

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.2.8

Résolvez $A$ dans $\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.3.2.8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.3.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $45$ .

$A = 45$

Étape 2.3.2.8.3

$A = 180 - 45$

Étape 2.3.2.8.4

Soustrayez $45$ de $180$ .

$A = 135$

Étape 2.3.2.8.5

Déterminez la période de $\sin (A)$ .

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Étape 2.3.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 2.3.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 2.3.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 2.3.2.8.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 2.3.2.8.6

La période de la fonction $\sin (A)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.3.2.9

Résolvez $A$ dans $\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.3.2.9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.3.2.9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.9.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- 45$ .

$A = - 45$

Étape 2.3.2.9.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$A = 360 + 45 + 180$

Étape 2.3.2.9.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.3.2.9.4.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 45 + 180 °$ .

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Étape 2.3.2.9.4.2

L’angle résultant de $225 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 45 + 180$ .

$A = 225 °$

Étape 2.3.2.9.5

Déterminez la période de $\sin (A)$ .

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Étape 2.3.2.9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 2.3.2.9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 2.3.2.9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 2.3.2.9.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 2.3.2.9.6

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.3.2.9.6.1

Ajoutez $360$ à $- 45$ pour déterminer l’angle positif.

$- 45 + 360$

Étape 2.3.2.9.6.2

Soustrayez $45$ de $360$ .

$315$

Étape 2.3.2.9.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$A = 315$

Étape 2.3.2.9.7

La période de la fonction $\sin (A)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.3.2.10

Indiquez toutes les solutions.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.3.2.11

Consolidez les réponses.

$A = 45 + 90 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ vraie.

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Consolidez les réponses.

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Étape 2.5.1

Consolidez $180 n$ et $90 + 180 n$ en $90 n$ .

$A = 90 n, 45 + 90 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5.2

Consolidez les réponses.

$A = 45 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $A$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${A | A \neq 45 n}$ , pour tout entier $n$

Étape 4