Ensembles finis Exemples

$\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$z^{3} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Étape 2

Résolvez $z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{3} + 3 z^{2} - 54 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{3}$ .

$z \cdot z^{2} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $z$ à partir de $3 z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} + z (3 z) - 54 z = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $z$ à partir de $- 54 z$ .

$z \cdot z^{2} + z (3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z^{2} + z (3 z)$ .

$z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $z$ à partir de $z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54$ .

$z (z^{2} + 3 z - 54) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Factorisez $z^{2} + 3 z - 54$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 54$ et dont la somme est $3$ .

$- 6, 9$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$z ((z - 6) (z + 9)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$z (z - 6) (z + 9) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z = 0$

$z - 6 = 0$

$z + 9 = 0$

Étape 2.3

Définissez $z$ égal à $0$ .

$z = 0$

Étape 2.4

Définissez $z - 6$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $z - 6$ égal à $0$ .

$z - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 6$

Étape 2.5

Définissez $z + 9$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $z + 9$ égal à $0$ .

$z + 9 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 9$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $z (z - 6) (z + 9) = 0$ vraie.

$z = 0, 6, - 9$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $z$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${z | z \neq 0, 6, - 9}$

Étape 4