Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez $\sqrt[9]{x}$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sqrt[3]{x} = - \sqrt[9]{x}$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Étape 2.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Étape 2.3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Étape 2.3.2.1.4

Simplifiez

$27 x = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Simplifiez ${(- \sqrt[9]{x})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt[9]{x}$ .

$27 x = {(- 1)}^{3} {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Étape 2.3.3.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$27 x = - {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt[9]{x}}^{3}$ comme $\sqrt[3]{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[9]{x}$ comme $x^{\frac{1}{9}}$ .

$27 x = - {(x^{\frac{1}{9}})}^{3}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x = - x^{\frac{1}{9} \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{9}$ et $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3}{9}}$

Étape 2.3.3.1.2.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3 (1)}{9}}$

Étape 2.3.3.1.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Étape 2.3.3.1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Étape 2.3.3.1.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$27 x = - x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.3.1.2.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{x}$ .

$27 x = - \sqrt[3]{x}$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt[3]{x} = 27 x$ .

$- \sqrt[3]{x} = 27 x$

Étape 2.5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt[3]{x})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Étape 2.6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Simplifiez ${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Étape 2.6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Étape 2.6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Étape 2.6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Étape 2.6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- x^{1} = {(27 x)}^{3}$

Étape 2.6.2.1.4

Simplifiez

$- x = {(27 x)}^{3}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1

Simplifiez ${(27 x)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $27 x$ .

$- x = 27^{3} x^{3}$

Étape 2.6.3.1.2

Élevez $27$ à la puissance $3$ .

$- x = 19683 x^{3}$

Étape 2.7

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Soustrayez $19683 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- x - 19683 x^{3} = 0$

Étape 2.7.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x - 19683 x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- 19683 x^{3}$ .

$- 19683 x^{3} - x = 0$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 19683 x^{3}$ .

$- x (19683 x^{2}) - x = 0$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x$ .

$- x (19683 x^{2}) - x \cdot 1 = 0$

Étape 2.7.2.4

Factorisez $- x$ à partir de $- x (19683 x^{2}) - x (1)$ .

$- x (19683 x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.7.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.7.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.7.5

Définissez $19683 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.1

Définissez $19683 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.7.5.2

Résolvez $19683 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$19683 x^{2} = - 1$

Étape 2.7.5.2.2

Divisez chaque terme dans $19683 x^{2} = - 1$ par $19683$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $19683 x^{2} = - 1$ par $19683$ .

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Étape 2.7.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $19683$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Étape 2.7.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{19683}$

Étape 2.7.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{19683}$

Étape 2.7.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$

Étape 2.7.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{19683}$ comme ${(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{19683}}$

Étape 2.7.5.2.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $1$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{19683}}$

Étape 2.7.5.2.4.1.3

Factorisez la puissance parfaite $81^{2}$ dans $19683$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}}$

Étape 2.7.5.2.4.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{81})}^{2} \frac{1}{3})}$

Étape 2.7.5.2.4.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{81})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{81})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}}$

Étape 2.7.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{i}{81} \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 2.7.5.2.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.7.5.2.4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.7.5.2.4.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 2.7.5.2.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.4.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.7.5.2.4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.7.5.2.4.7

Multipliez $\frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.4.7.1

Multipliez $\frac{i}{81}$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{81 \cdot 3}$

Étape 2.7.5.2.4.7.2

Multipliez $81$ par $3$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Étape 2.7.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Étape 2.7.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Étape 2.7.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Étape 2.7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (19683 x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 4