Ensembles finis Exemples

$\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{8} (x^{2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{0}$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{0}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$| x | > \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 0 |$

Étape 2.2.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$| x | > 0$

Étape 2.3

Écrivez $| x | > 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.3.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 0$

Étape 2.3.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.3.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 0$

Étape 2.3.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 0 & x \geq 0 \\ - x > 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.4

Déterminez l’intersection de $x > 0$ et $x \geq 0$ .

$x > 0$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $- x > 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $- x > 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x < 0$

Étape 2.6

Déterminez l’union des solutions.

$x < 0$ ou $x > 0$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\log_{2} (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 4

Définissez le dénominateur dans $\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\log_{2} (x) = 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $\log_{2} (x) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{0} = x$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez l’équation comme $x = 2^{0}$ .

$x = 2^{0}$

Étape 5.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x = 1$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0, x \neq 1}$

Étape 7