Ensembles finis Exemples

${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

Étape 1

Soustrayez ${(x - 3)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(y - 6)}^{2} = 9 - {(x - 3)}^{2}$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 6 = \pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x - 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Étape 3.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Étape 3.3.5

Additionnez $3$ et $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (- x + 6)}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 6 = \sqrt{x (- x + 6)}$

Étape 4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Étape 4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 6 = - \sqrt{x (- x + 6)}$

Étape 4.4

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (- x + 6)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (- x + 6) \geq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$- x + 6 = 0$

Étape 6.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3

Définissez $- x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Définissez $- x + 6$ égal à $0$ .

$- x + 6 = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $- x + 6 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 6$

Étape 6.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x = 6$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (- x + 6) \geq 0$ vraie.

$x = 0, 6$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 6.6.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 6.6.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 6$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, 6]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 \leq x \leq 6}$

Étape 8