Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{3} + \sqrt{3 x - 8}}{5 - \sqrt[7]{x + 2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 x - 8}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 x - 8 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x \geq 8$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $3 x \geq 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x \geq 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{8}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{8}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{8}{3}$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{3} + \sqrt{3 x - 8}}{5 - \sqrt[7]{x + 2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 - \sqrt[7]{x + 2} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- \sqrt[7]{x + 2} = - 5$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $7$ .

${(- \sqrt[7]{x + 2})}^{7} = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

${(- 1)}^{7} {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$- {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- {(x + 2)}^{1} = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez

$- (x + 2) = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- x - 1 \cdot 2 = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x - 2 = {(- 5)}^{7}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Élevez $- 5$ à la puissance $7$ .

$- x - 2 = - 78125$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = - 78125 + 2$

Étape 4.4.1.2

Additionnez $- 78125$ et $2$ .

$- x = - 78123$

Étape 4.4.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 78123$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 78123$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 78123}{- 1}$

Étape 4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 78123}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 78123}{- 1}$

Étape 4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.3.1

Divisez $- 78123$ par $- 1$ .

$x = 78123$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[\frac{8}{3}, 78123) \cup (78123, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq \frac{8}{3}, x \neq 78123}$

Étape 6