Ensembles finis Exemples

$\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (x - e^{6} x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - e^{6} x > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x - e^{6} x$ .

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Étape 2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - e^{6} x > 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{6} x > 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- e^{6} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) > 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- e^{6})$ .

$x (1 - e^{6}) > 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{6}) > 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) > 0$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Étape 2.1.5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Étape 2.1.5.1.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Étape 2.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Étape 2.1.7

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) > 0$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ par $1 - e^{6}$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ par $1 - e^{6}$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.2.3

Annulez le facteur commun de $1 + e^{2} + e^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.2.2.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x < \frac{0}{1^{3} - e^{6}}$

Étape 2.2.3.1.2

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$x < \frac{0}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Étape 2.2.3.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 2.2.3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 2.2.3.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 2.2.3.1.4.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 2.2.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 2.2.3.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Étape 2.2.3.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Étape 2.2.3.2

Divisez $0$ par $(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})$ .

$x < 0$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\ln (\ln (x - e^{6} x))$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\ln (x - e^{6} x) > 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\ln (x - e^{6} x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation.

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Étape 4.2.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x - e^{6} x)} = e^{0}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\ln (x - e^{6} x) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - e^{6} x$

Étape 4.2.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x - e^{6} x = e^{0}$ .

$x - e^{6} x = e^{0}$

Étape 4.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x - e^{6} x = 1$

Étape 4.2.3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x - e^{6} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - e^{6} x = 1$

Étape 4.2.3.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{6} x = 1$

Étape 4.2.3.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- e^{6} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) = 1$

Étape 4.2.3.3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- e^{6})$ .

$x (1 - e^{6}) = 1$

Étape 4.2.3.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{6}) = 1$

Étape 4.2.3.3.3

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) = 1$

Étape 4.2.3.3.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Étape 4.2.3.3.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.3.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.3.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Étape 4.2.3.3.5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Étape 4.2.3.3.5.1.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Étape 4.2.3.3.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 1$

Étape 4.2.3.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 1$

Étape 4.2.3.3.7

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.3.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 1$

Étape 4.2.3.3.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$

Étape 4.2.3.4

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$ par $1 - e^{6}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.1

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$ par $1 - e^{6}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.1.2

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.1.4.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $1 + e^{2} + e^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.2.2.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.3.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x = \frac{1}{1^{3} - e^{6}}$

Étape 4.2.3.4.3.1.2

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{1}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Étape 4.2.3.4.3.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$x = \frac{1}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.2.3.4.3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.3.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{1}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.2.3.4.3.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.2.3.4.3.1.4.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.2.3.4.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.3.1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.2.3.4.3.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.3.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Étape 4.2.3.4.3.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\ln (x - e^{6} x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x - e^{6} x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - e^{6} x > 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x - e^{6} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - e^{6} x > 0$

Étape 4.3.2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{6} x > 0$

Étape 4.3.2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- e^{6} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) > 0$

Étape 4.3.2.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- e^{6})$ .

$x (1 - e^{6}) > 0$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{6}) > 0$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) > 0$

Étape 4.3.2.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Étape 4.3.2.1.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Étape 4.3.2.1.5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Étape 4.3.2.1.5.1.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Étape 4.3.2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Étape 4.3.2.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Étape 4.3.2.1.7

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) > 0$

Étape 4.3.2.1.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$

Étape 4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ par $1 - e^{6}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.1.2

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.1.4.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - e$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.2.3

Annulez le facteur commun de $1 + e^{2} + e^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.2.2.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x < \frac{0}{1^{3} - e^{6}}$

Étape 4.3.2.2.3.1.2

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$x < \frac{0}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Étape 4.3.2.2.3.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.3.2.2.3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.3.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.3.2.2.3.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.3.2.2.3.1.4.3

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.3.2.2.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.3.1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Étape 4.3.2.2.3.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.3.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Étape 4.3.2.2.3.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Étape 4.3.2.2.3.2

Divisez $0$ par $(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})$ .

$x < 0$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0)$

Étape 4.4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})})$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}}$

Étape 6