Ensembles finis Exemples

$\ln (x^{4} e^{- x^{3}})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{4} e^{- x^{3}})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{4} e^{- x^{3}} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

$e^{- x^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 2.2.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 2.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3

Définissez $e^{- x^{3}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $e^{- x^{3}}$ égal à $0$ .

$e^{- x^{3}} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $e^{- x^{3}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x^{3}}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x^{3}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{4} e^{- x^{3}} > 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$x > 0$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{4} e^{- {(- 2)}^{3}} > 0$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche $47695.32779266$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{4} e^{- {(2)}^{3}} > 0$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche $0.0053674$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$x > 0$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$x > 0$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > 0$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 4