Ensembles finis Exemples

$\ln (\frac{5 + x}{3 - x})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (\frac{5 + x}{3 - x})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{5 + x}{3 - x} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$5 + x = 0$

$3 - x = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 5$

$x = 3$

Étape 2.6

Consolidez les solutions.

$x = - 5, 3$

Étape 2.7

Déterminez le domaine de $\frac{5 + x}{3 - x}$ .

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Étape 2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 + x}{3 - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 - x = 0$

Étape 2.7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.7.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 2.7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 - 8}{3 - (- 8)} > 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{27}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 + 0}{3 - (0)} > 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $1.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 + 6}{3 - (6)} > 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $- 3.\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 3$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 + x}{3 - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 - x = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 5, 3)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 5 < x < 3}$

Étape 6