Ensembles finis Exemples

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

Étape 2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

Étape 2.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Associez $- 1$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

Étape 2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

Étape 2.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

Étape 2.2

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.10

Consolidez les solutions.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.11

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.11.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 2.12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.13.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

Étape 2.13.1.3

Le côté gauche $- 3.\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.31$

Étape 2.13.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.31$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

Étape 2.13.2.3

Le côté gauche $1.91580645$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 2.13.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

Étape 2.13.3.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.13.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.13.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

Étape 2.13.4.3

Le côté gauche $2.75$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.13.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Faux

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Faux

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Vrai

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Faux

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Faux

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Vrai

Étape 2.14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ ou $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Étape 5