Ensembles finis Exemples

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $p$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 p^{3}$ .

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $16 p^{2}$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $28 p$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 48$ .

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Étape 2.2.2.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

Étape 2.2.2.1.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

Étape 2.2.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

Étape 2.2.2.1.3.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$5 + 7 - 12$

Étape 2.2.2.1.3.7

Additionnez $5$ et $7$ .

$12 - 12$

Étape 2.2.2.1.3.8

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $p - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

Étape 2.2.2.1.5

Divisez $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ par $p - 1$ .

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Étape 2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

Étape 2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $p^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $p$ .

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

Étape 2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $p^{3} - p^{2}$

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Étape 2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 p^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Étape 2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

Étape 2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 p^{2} - 5 p$

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

Étape 2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

Étape 2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Étape 2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 p$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Étape 2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

Étape 2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 p - 12$

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

Étape 2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

Étape 2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$p^{2} + 5 p + 12$

Étape 2.2.2.1.6

Écrivez $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Étape 2.4

Définissez $p - 1$ égal à $0$ et résolvez $p$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $p - 1$ égal à $0$ .

$p - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$p = 1$

Étape 2.5

Définissez $p^{2} + 5 p + 12$ égal à $0$ et résolvez $p$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $p^{2} + 5 p + 12$ égal à $0$ .

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ pour $p$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 5$ et $c = 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $p$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.4.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Étape 2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Étape 2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.5.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Étape 2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Étape 2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ vraie.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.7

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 2.7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$4 p^{3}$

Étape 2.7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$4$

Étape 2.8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, le parabole ouvre vers le haut et $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ est toujours supérieur à $0$ .

Tous les nombres réels

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${p | p \in ℝ}$

Étape 4