Ensembles finis Exemples

$4 x - 7 y^{2} + 6 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 y^{2} + 6 = - 4 x$

Étape 1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 y^{2} = - 4 x - 6$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 7 y^{2} = - 4 x - 6$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 y^{2} = - 4 x - 6$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 y^{2}}{- 7} = \frac{- 4 x}{- 7} + \frac{- 6}{- 7}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 y^{2}}{- 7} = \frac{- 4 x}{- 7} + \frac{- 6}{- 7}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- 4 x}{- 7} + \frac{- 6}{- 7}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = \frac{4 x}{7} + \frac{- 6}{- 7}$

Étape 2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = \frac{4 x}{7} + \frac{6}{7}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x}{7} + \frac{6}{7}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4 x}{7} + \frac{6}{7}}$ .

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x + 6}{7}}$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 6$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x) + 6}{7}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x) + 2 (3)}{7}}$

Étape 4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x + 3)}{7}}$

Étape 4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (2 x + 3)}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (2 x + 3)}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3)} \sqrt{7}}{7}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x + 3) \cdot 7}}{7}$

Étape 4.6.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x + 3)}}{7}$

Étape 6

Définissez le radicande dans $\sqrt{14 (2 x + 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$14 (2 x + 3) \geq 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $14 (2 x + 3) \geq 0$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Divisez chaque terme dans $14 (2 x + 3) \geq 0$ par $14$ .

$\frac{14 (2 x + 3)}{14} \geq \frac{0}{14}$

Étape 7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 7.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 (2 x + 3)}{14} \geq \frac{0}{14}$

Étape 7.1.2.1.2

Divisez $2 x + 3$ par $1$ .

$2 x + 3 \geq \frac{0}{14}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.3.1

Divisez $0$ par $14$ .

$2 x + 3 \geq 0$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x \geq - 3$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $2 x \geq - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x \geq - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 3}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{3}{2}$

Étape 8

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{3}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - \frac{3}{2}}$

Étape 9