Ensembles finis Exemples

$9 x^{2} - 4 y^{2} + 36 z^{2} = 36$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y^{2} + 36 z^{2} = 36 - 9 x^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez $36 z^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2} - 36 z^{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2} - 36 z^{2}$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2} - 36 z^{2}$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4} + \frac{- 36 z^{2}}{- 4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4} + \frac{- 36 z^{2}}{- 4}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4} + \frac{- 36 z^{2}}{- 4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Divisez $36$ par $- 4$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{- 9 x^{2}}{- 4} + \frac{- 36 z^{2}}{- 4}$

Étape 2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 36 z^{2}}{- 4}$

Étape 2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $- 4$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 36 z^{2}$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 4 (9 z^{2})}{- 4}$

Étape 2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.3.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 4 (9 z^{2})}{- 4 (1)}$

Étape 2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 4 (9 z^{2})}{- 4 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 z^{2}}{1}$

Étape 2.3.1.3.2.4

Divisez $9 z^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + 9 z^{2}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + 9 z^{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + 9 z^{2}}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 + \frac{9 x^{2}}{4} + 9 z^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$y = \pm \sqrt{9 \cdot - 1 + \frac{9 x^{2}}{4} + 9 z^{2}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $9$ à partir de $\frac{9 x^{2}}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \cdot - 1 + 9 \frac{x^{2}}{4} + 9 z^{2}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 \cdot - 1 + 9 \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \cdot (- 1 + \frac{x^{2}}{4}) + 9 z^{2}}$

Étape 4.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \cdot (- 1 + \frac{x^{2}}{4}) + 9 z^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (- 1 + \frac{x^{2}}{4} + z^{2})}$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (- 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4} + z^{2})}$

Étape 4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.1

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4} + z^{2})}$

Étape 4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{- 1 \cdot 4 + x^{2}}{4} + z^{2})}$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{- 4 + x^{2}}{4} + z^{2})}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{- 2^{2} + x^{2}}{4} + z^{2})}$

Étape 4.4.2

Remettez dans l’ordre $- 2^{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x^{2} - 2^{2}}{4} + z^{2})}$

Étape 4.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{(x + 2) (x - 2)}{4} + z^{2})}$

Étape 4.5

Pour écrire $z^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{(x + 2) (x - 2)}{4} + z^{2} \cdot \frac{4}{4})}$

Étape 4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.6.1

Associez $z^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{(x + 2) (x - 2)}{4} + \frac{z^{2} \cdot 4}{4})}$

Étape 4.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{(x + 2) (x - 2) + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 4.7.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x^{2} - 4 + z^{2} \cdot 4}{4}}$

Étape 4.7.4

Déplacez $4$ à gauche de $z^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}{4}}$

Étape 4.8

Associez $9$ et $\frac{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 4 + 4 z^{2})}{4}}$

Étape 4.9

Réécrivez $\frac{9 (x^{2} - 4 + 4 z^{2})}{4}$ comme ${(\frac{3}{2})}^{2} (x^{2} - 4 + {(2 z)}^{2})$ .

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Étape 4.9.1

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9 (x^{2} - 4 + 4 z^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 4 + {(2 z)}^{2})}{4}}$

Étape 4.9.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 4 + {(2 z)}^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.9.3

Réorganisez la fraction $\frac{3^{2} (x^{2} - 4 + {(2 z)}^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} (x^{2} - 4 + {(2 z)}^{2})}$

Étape 4.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{x^{2} - 4 + {(2 z)}^{2}}$

Étape 4.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.11.1

Appliquez la règle de produit à $2 z$ .

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{x^{2} - 4 + 2^{2} z^{2}}$

Étape 4.11.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}$

Étape 4.12

Associez $\frac{3}{2}$ et $\sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}}{2}$

Étape 6

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 4 + 4 z^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 4 + 4 z^{2} \geq 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} + 4 z^{2} \geq 4$

Étape 7.1.2

Soustrayez $4 z^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 4 - 4 z^{2}$

Étape 7.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4 - 4 z^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{4 - 4 z^{2}}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - 4 z^{2}}$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 - 4 z^{2}$ .

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Étape 7.3.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$| x | \geq \sqrt{4 (1) - 4 z^{2}}$

Étape 7.3.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 z^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{4 (1) + 4 (- z^{2})}$

Étape 7.3.2.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- z^{2})$ .

$| x | \geq \sqrt{4 (1 - z^{2})}$

Étape 7.3.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{4 (1^{2} - z^{2})}$

Étape 7.3.2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = z$ .

$| x | \geq \sqrt{4 (1 + z) (1 - z)}$

Étape 7.3.2.1.4

Réécrivez $4 (1 + z) (1 - z)$ comme $2^{2} ((1^{2} + z) (1 - z))$ .

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Étape 7.3.2.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{2^{2} (1 + z) (1 - z)}$

Étape 7.3.2.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{2^{2} (1^{2} + z) (1 - z)}$

Étape 7.3.2.1.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$| x | \geq \sqrt{2^{2} ((1^{2} + z) (1 - z))}$

Étape 7.3.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq | 2 | \sqrt{(1^{2} + z) (1 - z)}$

Étape 7.3.2.1.6

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \geq 2 \sqrt{(1^{2} + z) (1 - z)}$

Étape 7.3.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| x | \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$

Étape 7.4

Écrivez $| x | \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 7.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 7.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$

Étape 7.4.3

Déterminez le domaine de $x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ et déterminez l’intersection avec $x \geq 0$ .

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Étape 7.4.3.1

Déterminez le domaine de $x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ .

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Étape 7.4.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(1 + z) (1 - z) \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.4.3.1.2.1

Simplifiez $(1 + z) (1 - z)$ .

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Étape 7.4.3.1.2.1.1

Développez $(1 + z) (1 - z)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.4.3.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - z) + z (1 - z) \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- z) + z (1 - z) \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- z) + z \cdot 1 + z (- z) \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.4.3.1.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.3.1.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- z) + z \cdot 1 + z (- z) \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.2.1.2

Multipliez $- z$ par $1$ .

$1 - z + z \cdot 1 + z (- z) \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.2.1.3

Multipliez $z$ par $1$ .

$1 - z + z + z (- z) \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - z + z - z \cdot z \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.2.1.5

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.3.1.2.1.2.1.5.1

Déplacez $z$ .

$1 - z + z - (z \cdot z) \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.2.1.5.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$1 - z + z - z^{2} \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.2.2

Additionnez $- z$ et $z$ .

$1 + 0 - z^{2} \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - z^{2} \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- z^{2} \geq - 1$

Étape 7.4.3.1.2.3

Divisez chaque terme dans $- z^{2} \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- z^{2} \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- z^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.4.3.1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{z^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.4.3.1.2.3.2.2

Divisez $z^{2}$ par $1$ .

$z^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.4.3.1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.3.1.2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$z^{2} \leq 1$

Étape 7.4.3.1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{z^{2}} \leq \sqrt{1}$

Étape 7.4.3.1.2.5

Simplifiez l’équation.

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Étape 7.4.3.1.2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1.2.5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | \leq \sqrt{1}$

Étape 7.4.3.1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.3.1.2.5.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | \leq 1$

Étape 7.4.3.1.2.6

Écrivez $| z | \leq 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 7.4.3.1.2.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$z \geq 0$

Étape 7.4.3.1.2.6.2

Dans la partie où $z$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$z \leq 1$

Étape 7.4.3.1.2.6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$z < 0$

Étape 7.4.3.1.2.6.4

Dans la partie où $z$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- z \leq 1$

Étape 7.4.3.1.2.6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} z \leq 1 & z \geq 0 \\ - z \leq 1 & z < 0 \end{cases}$

Étape 7.4.3.1.2.7

Déterminez l’intersection de $z \leq 1$ et $z \geq 0$ .

$0 \leq z \leq 1$

Étape 7.4.3.1.2.8

Résolvez $- z \leq 1$ quand $z < 0$ .

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Étape 7.4.3.1.2.8.1

Divisez chaque terme dans $- z \leq 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1.2.8.1.1

Divisez chaque terme dans $- z \leq 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- z}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.3.1.2.8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1.2.8.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{z}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.3.1.2.8.1.2.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.3.1.2.8.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.3.1.2.8.1.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$z \geq - 1$

Étape 7.4.3.1.2.8.2

Déterminez l’intersection de $z \geq - 1$ et $z < 0$ .

$- 1 \leq z < 0$

Étape 7.4.3.1.2.9

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 \leq z \leq 1$

Étape 7.4.3.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 1]$

Étape 7.4.3.2

Déterminez l’intersection de $x \geq 0$ et $[- 1, 1]$ .

$0 \leq x \leq 1$

Étape 7.4.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 7.4.5

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$

Étape 7.4.6

Déterminez le domaine de $- x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ et déterminez l’intersection avec $x < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1

Déterminez le domaine de $- x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ .

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Étape 7.4.6.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(1 + z) (1 - z) \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.4.6.1.2.1

Simplifiez $(1 + z) (1 - z)$ .

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Étape 7.4.6.1.2.1.1

Développez $(1 + z) (1 - z)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - z) + z (1 - z) \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- z) + z (1 - z) \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- z) + z \cdot 1 + z (- z) \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.6.1.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- z) + z \cdot 1 + z (- z) \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.2.1.2

Multipliez $- z$ par $1$ .

$1 - z + z \cdot 1 + z (- z) \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.2.1.3

Multipliez $z$ par $1$ .

$1 - z + z + z (- z) \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - z + z - z \cdot z \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.2.1.5

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.6.1.2.1.2.1.5.1

Déplacez $z$ .

$1 - z + z - (z \cdot z) \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.2.1.5.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$1 - z + z - z^{2} \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.2.2

Additionnez $- z$ et $z$ .

$1 + 0 - z^{2} \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - z^{2} \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- z^{2} \geq - 1$

Étape 7.4.6.1.2.3

Divisez chaque terme dans $- z^{2} \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- z^{2} \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- z^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.4.6.1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{z^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.4.6.1.2.3.2.2

Divisez $z^{2}$ par $1$ .

$z^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.4.6.1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$z^{2} \leq 1$

Étape 7.4.6.1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{z^{2}} \leq \sqrt{1}$

Étape 7.4.6.1.2.5

Simplifiez l’équation.

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Étape 7.4.6.1.2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | \leq \sqrt{1}$

Étape 7.4.6.1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.6.1.2.5.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | \leq 1$

Étape 7.4.6.1.2.6

Écrivez $| z | \leq 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 7.4.6.1.2.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$z \geq 0$

Étape 7.4.6.1.2.6.2

Dans la partie où $z$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$z \leq 1$

Étape 7.4.6.1.2.6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$z < 0$

Étape 7.4.6.1.2.6.4

Dans la partie où $z$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- z \leq 1$

Étape 7.4.6.1.2.6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} z \leq 1 & z \geq 0 \\ - z \leq 1 & z < 0 \end{cases}$

Étape 7.4.6.1.2.7

Déterminez l’intersection de $z \leq 1$ et $z \geq 0$ .

$0 \leq z \leq 1$

Étape 7.4.6.1.2.8

Résolvez $- z \leq 1$ quand $z < 0$ .

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Étape 7.4.6.1.2.8.1

Divisez chaque terme dans $- z \leq 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.8.1.1

Divisez chaque terme dans $- z \leq 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- z}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.6.1.2.8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.8.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{z}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.6.1.2.8.1.2.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z \geq \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.6.1.2.8.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.6.1.2.8.1.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$z \geq - 1$

Étape 7.4.6.1.2.8.2

Déterminez l’intersection de $z \geq - 1$ et $z < 0$ .

$- 1 \leq z < 0$

Étape 7.4.6.1.2.9

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 \leq z \leq 1$

Étape 7.4.6.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 1]$

Étape 7.4.6.2

Déterminez l’intersection de $x < 0$ et $[- 1, 1]$ .

$- 1 \leq x < 0$

Étape 7.4.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)} & 0 \leq x \leq 1 \\ - x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)} & - 1 \leq x < 0 \end{cases}$

Étape 7.5

Déterminez l’intersection de $x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ et $0 \leq x \leq 1$ .

Aucune solution

Étape 7.6

Résolvez $- x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ quand $- 1 \leq x < 0$ .

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Étape 7.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}}{- 1}$

Étape 7.6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}}{- 1}$

Étape 7.6.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}}{- 1}$

Étape 7.6.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)})$

Étape 7.6.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)})$ comme $- (2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)})$ .

$x \leq - (2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)})$

Étape 7.6.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x \leq - 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$

Étape 7.6.2

Déterminez l’intersection de $x \leq - 2 \sqrt{(1 + z) (1 - z)}$ et $- 1 \leq x < 0$ .

$- 1 \leq x < N o (Min i m u m)$

Étape 7.7

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 \leq x < i N o Min m^{2} u$

Étape 8

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression définie.

Aucune solution