Ensembles finis Exemples

$\frac{12 x^{2} + 2 x - 2}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{2} + 2 x - 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 x - 2}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (x) - 2}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 2 (- 1)}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 x^{2}) + 2 (x)$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x) + 2 (- 1)}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 x^{2} + x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 1 = - 6$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 1.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + 1 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 2$ plus $3$

$\frac{2 (6 x^{2} + (- 2 + 3) x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (6 x^{2} - 2 x + 3 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((6 x^{2} - 2 x) + 3 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (2 x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1))}{27 x^{3} - 1}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$\frac{2 ((3 x - 1) (2 x + 1))}{27 x^{3} - 1}$

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{27 x^{3} - 1}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $27 x^{3}$ comme ${(3 x)}^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{{(3 x)}^{3} - 1}$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{{(3 x)}^{3} - 1^{3}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 2.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2})}$

Étape 2.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $3 x - 1$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 x + 1)}{9 x^{2} + 3 x + 1}$