Ensembles finis Exemples

$\frac{\frac{1}{x^{2}} - x^{2}}{\frac{1}{x} + x}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x^{2}} - x^{2}}{\frac{1}{x} + x}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}} - x^{2}}{\frac{1}{x} + x}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - x^{2})}{x^{2} (\frac{1}{x} + x)}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} \frac{1}{x} + x^{2} x}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} \frac{1}{x} + x^{2} x}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} \frac{1}{x} + x^{2} x}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2} (- x^{2})}{x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} x}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + x^{2} (- x^{2})}{x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} x}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x^{2} (- x^{2})}{x + x^{2} x}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x + x^{2} x}$

Étape 4.2

Réécrivez $x^{2} (x^{2})$ comme ${(x \cdot x)}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(x \cdot x)}^{2}}{x + x^{2} x}$

Étape 4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x \cdot x$ .

$\frac{(1 + x \cdot x) (1 - (x \cdot x))}{x + x^{2} x}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - (x \cdot x))}{x + x^{2} x}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1^{2} - x \cdot x)}{x + x^{2} x}$

Étape 4.4.3

Réécrivez $x \cdot x$ comme $x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1^{2} - x^{2})}{x + x^{2} x}$

Étape 4.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x + x^{2} x}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x + x^{2} x$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{1} + x^{2} x}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x \cdot 1 + x^{2} x}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} x$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x \cdot 1 + x (x \cdot x)}$

Étape 5.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (x \cdot x)$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x (1 + x \cdot x)}$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x (1 + x^{2})}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x (1 + x^{2})}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$