Ensembles finis Exemples

$\frac{{(3 x^{- 3} \sqrt{y})}^{4} {(2 \sqrt{x} y)}^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{- 3} \sqrt{y}$ .

$\frac{{(3 x^{- 3})}^{4} {\sqrt{y}}^{4} {(2 \sqrt{x} y)}^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{x} y$ .

$\frac{{(3 x^{- 3})}^{4} {\sqrt{y}}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(3 \frac{1}{x^{3}})}^{4} {\sqrt{y}}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.4

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{{(\frac{3}{x^{3}})}^{4} {\sqrt{y}}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3^{4}}{{(x^{3})}^{4}} {\sqrt{y}}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.6

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{\frac{81}{{(x^{3})}^{4}} {\sqrt{y}}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{4}$ .

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Étape 1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{81}{x^{3 \cdot 4}} {\sqrt{y}}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.7.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} {\sqrt{y}}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.8

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{4}$ comme $y^{2}$ .

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Étape 1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} {(y^{\frac{1}{2}})}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{\frac{1}{2} \cdot 4} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{\frac{4}{2}} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.8.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{\frac{2}{1}} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.8.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} {(2 \sqrt{x})}^{2} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.9

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} (2^{2} {\sqrt{x}}^{2}) y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} (4 {\sqrt{x}}^{2}) y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.11

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} (4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} (4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} (4 x^{\frac{2}{2}}) y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} (4 x^{\frac{2}{2}}) y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} (4 x^{1}) y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.11.5

Simplifiez

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} (4 x) y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

$\frac{\frac{81}{x^{12}} y^{2} \cdot 4 x y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.12

Associez les exposants.

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Étape 1.12.1

Associez $\frac{81}{x^{12}}$ et $y^{2}$ .

$\frac{\frac{81 y^{2}}{x^{12}} \cdot 4 x y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.12.2

Associez $\frac{81 y^{2}}{x^{12}}$ et $4$ .

$\frac{\frac{81 y^{2} \cdot 4}{x^{12}} x y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.12.3

Multipliez $4$ par $81$ .

$\frac{\frac{324 y^{2}}{x^{12}} x y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.12.4

Associez $\frac{324 y^{2}}{x^{12}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{324 y^{2} x}{x^{12}} y^{2}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.12.5

Associez $\frac{324 y^{2} x}{x^{12}}$ et $y^{2}$ .

$\frac{\frac{324 y^{2} x y^{2}}{x^{12}}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.12.6

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.6.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{\frac{324 (y^{2} y^{2}) x}{x^{12}}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.12.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{324 y^{2 + 2} x}{x^{12}}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.12.6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{\frac{324 y^{4} x}{x^{12}}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.13

Réduisez l’expression $\frac{324 y^{4} x}{x^{12}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.13.1

Factorisez $x$ à partir de $324 y^{4} x$ .

$\frac{\frac{x (324 y^{4})}{x^{12}}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.13.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{12}$ .

$\frac{\frac{x (324 y^{4})}{x \cdot x^{11}}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x (324 y^{4})}{x \cdot x^{11}}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 1.13.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{{(9 x^{- 2} y^{3})}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $9 x^{- 2} y^{3}$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{{(9 x^{- 2})}^{2} {(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{{(9 \frac{1}{x^{2}})}^{2} {(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Associez $9$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{{(\frac{9}{x^{2}})}^{2} {(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{\frac{9^{2}}{{(x^{2})}^{2}} {(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{\frac{81}{{(x^{2})}^{2}} {(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{\frac{81}{x^{2 \cdot 2}} {(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{\frac{81}{x^{4}} {(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{\frac{81}{x^{4}} y^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{\frac{81}{x^{4}} y^{6}}$

Étape 3

Associez $\frac{81}{x^{4}}$ et $y^{6}$ .

$\frac{\frac{324 y^{4}}{x^{11}}}{\frac{81 y^{6}}{x^{4}}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{324 y^{4}}{x^{11}} \cdot \frac{x^{4}}{81 y^{6}}$

Étape 5

Associez.

$\frac{324 y^{4} x^{4}}{x^{11} (81 y^{6})}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $324$ et $81$ .

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Étape 6.1

Factorisez $81$ à partir de $324 y^{4} x^{4}$ .

$\frac{81 (4 y^{4} x^{4})}{x^{11} (81 y^{6})}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $81$ à partir de $x^{11} (81 y^{6})$ .

$\frac{81 (4 y^{4} x^{4})}{81 (x^{11} (y^{6}))}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 (4 y^{4} x^{4})}{81 (x^{11} (y^{6}))}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y^{4} x^{4}}{x^{11} (y^{6})}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y^{6}$ .

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Étape 7.1

Factorisez $y^{4}$ à partir de $4 y^{4} x^{4}$ .

$\frac{y^{4} (4 x^{4})}{x^{11} (y^{6})}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $y^{4}$ à partir de $x^{11} (y^{6})$ .

$\frac{y^{4} (4 x^{4})}{y^{4} (x^{11} (y^{2}))}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{4} (4 x^{4})}{y^{4} (x^{11} (y^{2}))}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{4}}{x^{11} (y^{2})}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{11}$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $4 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 4}{x^{11} (y^{2})}$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{11} (y^{2})$ .

$\frac{x^{4} \cdot 4}{x^{4} (x^{7} y^{2})}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} \cdot 4}{x^{4} (x^{7} y^{2})}$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x^{7} y^{2}}$