Ensembles finis Exemples

\frac{\frac{x - 4}{x^{2} - x}}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}

$\frac{\frac{x - 4}{x^{2} - x}}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

\frac{x - 4}{x^{2} - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}

$\frac{x - 4}{x^{2} - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 2

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{2} - x$ .

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Étape 2.1

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 2.2

Factorisez

$x$ à partir de

$- x$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 2.3

Factorisez

$x$ à partir de

$x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme

$a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est

$a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est

$b = 3$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez

$3$ comme

$1$ plus

$2$

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.1.4

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

$2 x + 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = x$ et

$b = 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Pour écrire

$\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.2

Pour écrire

$- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

Étape 5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez

$\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ par

$\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

Étape 5.3.2

Multipliez

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ par

$\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}}$

Étape 5.3.3

Réorganisez les facteurs de

$(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5

Réécrivez

$\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}$ en forme factorisée.

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Étape 5.5.1

Développez

$(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 1) - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.1.1

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.2.1.2

Déplacez

$- 1$ à gauche de

$x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.2.1.3

Réécrivez

$- 1 x$ comme

$- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.2.1.4

Réécrivez

$- 1 x$ comme

$- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.2.1.5

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.2.2

Soustrayez

$x$ de

$- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.4

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.6

Soustrayez

$2 x$ de

$- 2 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 1 - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.7

Soustrayez

$1$ de

$1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 0}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.8

Additionnez

$x^{2} - 4 x$ et

$0$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.9

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{2} - 4 x$ .

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Étape 5.5.9.1

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.9.2

Factorisez

$x$ à partir de

$- 4 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.5.9.3

Factorisez

$x$ à partir de

$x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 4)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} (1 \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)})$

Étape 7

Multipliez

$\frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$ par

$1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de

$x - 4$ .

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Étape 8.1

Factorisez

$x - 4$ à partir de

$x (x - 4)$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de

$x - 1$ .

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Étape 9.1

Factorisez

$x - 1$ à partir de

$x (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

Étape 9.2

Factorisez

$x - 1$ à partir de

$(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

Étape 9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$

Étape 10

Multipliez

$\frac{1}{x}$ par

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x \cdot x}$

Étape 11

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x}$

Étape 12

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x^{1}}$

Étape 13

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1 + 1}}$

Étape 14

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2}}$