Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{4} - 8 x^{2} + 15}{x^{4} - 9}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 15}{x^{4} - 9}$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{u^{2} - 8 u + 15}{x^{4} - 9}$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 8 u + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(u - 5) (u - 3)}{x^{4} - 9}$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{x^{4} - 9}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{{(x^{2})}^{2} - 9}$

Étape 2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{{(x^{2})}^{2} - 3^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 3$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - 5) (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 3}$