Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt[6]{x^{13} y^{5}}}{\sqrt{x y}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{13} y^{5}$ comme ${(x^{2})}^{6} (x y^{5})$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{12}$ .

$\frac{\sqrt[6]{x^{12} x y^{5}}}{\sqrt{x y}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{12}$ comme ${(x^{2})}^{6}$ .

$\frac{\sqrt[6]{{(x^{2})}^{6} x y^{5}}}{\sqrt{x y}}$

Étape 1.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\sqrt[6]{{(x^{2})}^{6} (x y^{5})}}{\sqrt{x y}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}}}{\sqrt{x y}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}}}{\sqrt{x y}}$ par $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}}}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}}}{\sqrt{x y}}$ par $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}}$

Étape 3.1.2

Élevez $\sqrt{x y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}}$

Étape 3.1.3

Élevez $\sqrt{x y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}}$

Étape 3.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}}$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$

Étape 3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{x y}}^{2}$ comme $x y$ .

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Étape 3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x y}$ comme ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}}$

Étape 3.1.6.5

Simplifiez

$\frac{x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{x y}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}$ .

$\frac{x (x \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y})}{x y}$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x (x \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y})}{x (y)}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y})}{x y}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \sqrt[6]{x y^{5}} \sqrt{x y}}{y}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x y}$ comme ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x ({(x y)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[6]{x y^{5}})}{y}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ comme ${(x y)}^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{x ({(x y)}^{\frac{3}{6}} \sqrt[6]{x y^{5}})}{y}$

Étape 4.1.3

Réécrivez ${(x y)}^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{{(x y)}^{3}}$ .

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} \sqrt[6]{x y^{5}})}{y}$

Étape 4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{x \sqrt[6]{{(x y)}^{3} (x y^{5})}}{y}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $x y$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x y^{5}}}{y}$

Étape 4.4

Associez les exposants.

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Étape 4.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{1} x^{3} y^{3} y^{5}}}{y}$

Étape 4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{1 + 3} y^{3} y^{5}}}{y}$

Étape 4.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4} y^{3} y^{5}}}{y}$

Étape 4.4.4

Multipliez $y^{3}$ par $y^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.4.1

Déplacez $y^{5}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4} (y^{5} y^{3})}}{y}$

Étape 4.4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4} y^{5 + 3}}}{y}$

Étape 4.4.4.3

Additionnez $5$ et $3$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4} y^{8}}}{y}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $x^{4} y^{8}$ comme $y^{6} (x^{4} y^{2})$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $y^{6}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4} (y^{6} y^{2})}}{y}$

Étape 5.1.2

Remettez dans l’ordre $x^{4}$ et $y^{6}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{y^{6} x^{4} y^{2}}}{y}$

Étape 5.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{x \sqrt[6]{y^{6} (x^{4} y^{2})}}{y}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x (y \sqrt[6]{x^{4} y^{2}})}{y}$

Étape 5.3

Réécrivez $x^{4} y^{2}$ comme ${(x^{2} y)}^{2}$ .

$\frac{x (y \sqrt[6]{{(x^{2} y)}^{2}})}{y}$

Étape 5.4

Réécrivez $\sqrt[6]{{(x^{2} y)}^{2}}$ comme $\sqrt[3]{\sqrt{{(x^{2} y)}^{2}}}$ .

$\frac{x (y \sqrt[3]{\sqrt{{(x^{2} y)}^{2}}})}{y}$

Étape 5.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{x y \sqrt[3]{x^{2} y}}{y}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \sqrt[3]{x^{2} y}}{y}$

Étape 6.2

Divisez $x \sqrt[3]{x^{2} y}$ par $1$ .

$x \sqrt[3]{x^{2} y}$