Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt[3]{32 a^{7} b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $32 a^{7} b^{7}$ comme ${(2 a^{2} b^{2})}^{3} \cdot (4 a b)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 (4) a^{7} b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 a^{7} b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $a^{6}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 (a^{6} a) b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.4

Réécrivez $a^{6}$ comme ${(a^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 ({(a^{2})}^{3} a) b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.5

Factorisez $b^{6}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 ({(a^{2})}^{3} a) (b^{6} b)}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.6

Réécrivez $b^{6}$ comme ${(b^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 ({(a^{2})}^{3} a) ({(b^{2})}^{3} b)}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.7

Déplacez $a$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 ({(a^{2})}^{3}) {(b^{2})}^{3} a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.8

Déplacez $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{(2^{3} ({(a^{2})}^{3})) {(b^{2})}^{3} \cdot 4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.9

Réécrivez $(2^{3} ({(a^{2})}^{3})) {(b^{2})}^{3}$ comme ${(2 a^{2} b^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(2 a^{2} b^{2})}^{3} \cdot 4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.10

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\sqrt[3]{{(2 a^{2} b^{2})}^{3} \cdot 4 (a b)}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.1.11

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\sqrt[3]{{(2 a^{2} b^{2})}^{3} \cdot (4 a b)}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$ par $\frac{\sqrt{2 a b}}{\sqrt{2 a b}}$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b}}{\sqrt{2 a b}} \cdot \frac{\sqrt{2 a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$ par $\frac{\sqrt{2 a b}}{\sqrt{2 a b}}$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{\sqrt{2 a b} \sqrt{2 a b}}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2 a b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{\sqrt{2 a b}}^{1} \sqrt{2 a b}}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2 a b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{\sqrt{2 a b}}^{1} {\sqrt{2 a b}}^{1}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{\sqrt{2 a b}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{\sqrt{2 a b}}^{2}}$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt{2 a b}}^{2}$ comme $2 a b$ .

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Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a b}$ comme ${(2 a b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{({(2 a b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{(2 a b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{(2 a b)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{(2 a b)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{(2 a b)}^{1}}$

Étape 3.6.5

Simplifiez

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{2 a b}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{2 a b}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{a b}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $a^{2}$ et $a$ .

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Étape 5.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$ .

$\frac{a (a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{a b}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $a$ à partir de $a b$ .

$\frac{a (a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{a (b)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{a b}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{b}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $b^{2}$ et $b$ .

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Étape 6.1

Factorisez $b$ à partir de $a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$ .

$\frac{b (a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{b}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b (a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{b^{1}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $b$ à partir de $b^{1}$ .

$\frac{b (a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{b \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{b (a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{b \cdot 1}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{1}$

Étape 6.2.5

Divisez $a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$ par $1$ .

$a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$

Étape 7

Multipliez $a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a b}$ comme ${(2 a b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$a b ({(2 a b)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{4 a b})$

Étape 7.1.2

Réécrivez ${(2 a b)}^{\frac{1}{2}}$ comme ${(2 a b)}^{\frac{3}{6}}$ .

$a b ({(2 a b)}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{4 a b})$

Étape 7.1.3

Réécrivez ${(2 a b)}^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}} \sqrt[3]{4 a b})$

Étape 7.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 a b}$ comme ${(4 a b)}^{\frac{1}{3}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}} {(4 a b)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 7.1.5

Réécrivez ${(4 a b)}^{\frac{1}{3}}$ comme ${(4 a b)}^{\frac{2}{6}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}} {(4 a b)}^{\frac{2}{6}})$

Étape 7.1.6

Réécrivez ${(4 a b)}^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{{(4 a b)}^{2}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}} \sqrt[6]{{(4 a b)}^{2}})$

Étape 7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$a b \sqrt[6]{{(2 a b)}^{3} {(4 a b)}^{2}}$

Étape 7.3

Appliquez la règle de produit à $2 a b$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} b^{3} {(4 a b)}^{2}}$

Étape 7.4

Appliquez la règle de produit à $4 a b$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} b^{3} {(4 a)}^{2} b^{2}}$

Étape 7.5

Multipliez $b^{3}$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1

Déplacez $b^{2}$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} (b^{2} b^{3}) {(4 a)}^{2}}$

Étape 7.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} b^{2 + 3} {(4 a)}^{2}}$

Étape 7.5.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} b^{5} {(4 a)}^{2}}$

Étape 7.6

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$a b \sqrt[6]{2^{3} a^{3} b^{5} {(4 a)}^{2}}$

Étape 7.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$a b \sqrt[6]{8 a^{3} b^{5} {(4 a)}^{2}}$

Étape 7.8

Appliquez la règle de produit à $4 a$ .

$a b \sqrt[6]{8 a^{3} b^{5} (4^{2} a^{2})}$

Étape 7.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$a b \sqrt[6]{8 a^{3} b^{5} \cdot 16 a^{2}}$

Étape 7.10

Associez les exposants.

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Étape 7.10.1

Multipliez $16$ par $8$ .

$a b \sqrt[6]{128 a^{3} b^{5} a^{2}}$

Étape 7.10.2

Multipliez $a^{3}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.10.2.1

Déplacez $a^{2}$ .

$a b \sqrt[6]{128 (a^{2} a^{3}) b^{5}}$

Étape 7.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a b \sqrt[6]{128 a^{2 + 3} b^{5}}$

Étape 7.10.2.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$a b \sqrt[6]{128 a^{5} b^{5}}$

Étape 8

Réécrivez $128 a^{5} b^{5}$ comme $2^{6} \cdot (2 a^{5} b^{5})$ .

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Étape 8.1

Factorisez $64$ à partir de $128$ .

$a b \sqrt[6]{64 (2) a^{5} b^{5}}$

Étape 8.2

Réécrivez $64$ comme $2^{6}$ .

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 a^{5} b^{5}}$

Étape 8.3

Ajoutez des parenthèses.

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 (a^{5} b^{5})}$

Étape 8.4

Ajoutez des parenthèses.

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot (2 a^{5} b^{5})}$

Étape 9

Extrayez les termes de sous le radical.

$a b (2 \sqrt[6]{2 a^{5} b^{5}})$

Étape 10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 a b \sqrt[6]{2 a^{5} b^{5}}$