Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{7} + i \sqrt{7}}{(1 - i \sqrt{3}) (2 - 2 i)}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{7} + i \sqrt{7}}{(1 - i \sqrt{3}) (2 - 2 i)}$ par $\frac{1 + i \sqrt{3}}{1 + i \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{7} + i \sqrt{7}}{(1 - i \sqrt{3}) (2 - 2 i)} \cdot \frac{1 + i \sqrt{3}}{1 + i \sqrt{3}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7} + i \sqrt{7}}{(1 - i \sqrt{3}) (2 - 2 i)}$ par $\frac{1 + i \sqrt{3}}{1 + i \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{3})}{(1 - i \sqrt{3}) (2 - 2 i) (1 + i \sqrt{3})}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $1 - i \sqrt{3}$ .

$\frac{(\sqrt{7} + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) ((1 - i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}$

Étape 2.2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{7} + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) (1 + \sqrt{3} i - i \sqrt{3} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{7} + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{7} + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} (1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{7} (1 + i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} \cdot 1 + \sqrt{7} (i \sqrt{3}) + i \sqrt{7} (1 + i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} \cdot 1 + \sqrt{7} (i \sqrt{3}) + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\sqrt{7}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{7} (i \sqrt{3}) + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $\sqrt{7} (i \sqrt{3})$ .

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Étape 4.1.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3 \cdot 7} i + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} (i \sqrt{3})}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.4

Multipliez $i \sqrt{7} (i \sqrt{3})$ .

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Étape 4.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} + i^{1} i \sqrt{7} \sqrt{3}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} + i^{1} i^{1} \sqrt{7} \sqrt{3}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} + i^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{3}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} + i^{2} \sqrt{7} \sqrt{3}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} + i^{2} \sqrt{3 \cdot 7}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.4.6

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} + i^{2} \sqrt{21}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} - 1 \sqrt{21}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 1 \sqrt{21}$ comme $- \sqrt{21}$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7} - \sqrt{21}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.1

Remettez dans l’ordre $\sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7}$ et $- \sqrt{21}$ .

$\frac{- \sqrt{21} + \sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7}}{(2 - 2 i) \cdot 4}$

Étape 4.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $2 - 2 i$ .

$\frac{- \sqrt{21} + \sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7}}{4 \cdot (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{21}$ .

$\frac{- (\sqrt{21}) + \sqrt{7} + \sqrt{21} i + i \sqrt{7}}{4 (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{7}$ .

$\frac{- (\sqrt{21}) - 1 (- \sqrt{7}) + \sqrt{21} i + i \sqrt{7}}{4 (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{21}) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$\frac{- (\sqrt{21} - \sqrt{7}) + \sqrt{21} i + i \sqrt{7}}{4 (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{21} i$ .

$\frac{- (\sqrt{21} - \sqrt{7}) - (- \sqrt{21} i) + i \sqrt{7}}{4 (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{21} - \sqrt{7}) - (- \sqrt{21} i)$ .

$\frac{- (\sqrt{21} - \sqrt{7} - \sqrt{21} i) + i \sqrt{7}}{4 (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{7}$ .

$\frac{- (\sqrt{21} - \sqrt{7} - \sqrt{21} i) - (- i \sqrt{7})}{4 (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{21} - \sqrt{7} - \sqrt{21} i) - (- i \sqrt{7})$ .

$\frac{- (\sqrt{21} - \sqrt{7} - \sqrt{21} i - i \sqrt{7})}{4 (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.10.1

Réécrivez $- (\sqrt{21} - \sqrt{7} - \sqrt{21} i - i \sqrt{7})$ comme $- 1 (\sqrt{21} - \sqrt{7} - \sqrt{21} i - i \sqrt{7})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{21} - \sqrt{7} - \sqrt{21} i - i \sqrt{7})}{4 (2 - 2 i)}$

Étape 4.2.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{21} - \sqrt{7} - \sqrt{21} i - i \sqrt{7}}{4 (2 - 2 i)}$