Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5})}{(\sqrt{2} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5})}{{\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5} (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.3

Multipliez $\sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ .

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Étape 4.1.3.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{10} + 2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{10} + 2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{10} + 2 {\sqrt{5}}^{1 + 1} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{10} + 2 {\sqrt{5}}^{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{10} + 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{10} + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{10} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{10} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{10} + 2 \cdot 5^{1} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{10} + 2 \cdot 5 - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1.6.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 {\sqrt{2}}^{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 \cdot 2^{1} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 4 - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})}{- 18}$

Étape 4.1.9

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{5})$ .

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Étape 4.1.9.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 4 - 4 \sqrt{2} \sqrt{5}}{- 18}$

Étape 4.1.9.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 4 - 4 \sqrt{5 \cdot 2}}{- 18}$

Étape 4.1.9.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{10} + 10 - 4 - 4 \sqrt{10}}{- 18}$

Étape 4.2

Soustrayez $4 \sqrt{10}$ de $\sqrt{10}$ .

$\frac{10 - 4 - 3 \sqrt{10}}{- 18}$

Étape 4.3

Soustrayez $4$ de $10$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{10}}{- 18}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $6 - 3 \sqrt{10}$ et $- 18$ .

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2) - 3 \sqrt{10}}{- 18}$

Étape 5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sqrt{10}$ .

$\frac{3 (2) + 3 (- \sqrt{10})}{- 18}$

Étape 5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2) + 3 (- \sqrt{10})$ .

$\frac{3 (2 - \sqrt{10})}{- 18}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 18$ .

$\frac{3 (2 - \sqrt{10})}{3 \cdot - 6}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 - \sqrt{10})}{3 \cdot - 6}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{10}}{- 6}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Forme décimale :

$0.19371294 \dots$