Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} + 7 \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} + 7 \sqrt{2}}$ par $\frac{3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} + 7 \sqrt{2}} \cdot \frac{3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} + 7 \sqrt{2}}$ par $\frac{3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3} + 7 \sqrt{2}) (3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2})}{9 {\sqrt{3}}^{2} - 21 \sqrt{6} + 21 \sqrt{6} - 49 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\sqrt{3} (3 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 3^{1} + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cdot 3 + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + \sqrt{3} (- 7 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.4

Multipliez $\sqrt{3} (- 7 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9 - 7 \sqrt{3 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (3 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{3 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 71}$

Étape 4.1.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 71}$

Étape 4.1.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 71}$

Étape 4.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 71}$

Étape 4.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 {\sqrt{2}}^{2}}{- 71}$

Étape 4.1.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 71}$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 71}$

Étape 4.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 71}$

Étape 4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 71}$

Étape 4.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 \cdot 2^{1}}{- 71}$

Étape 4.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 14 \cdot 2}{- 71}$

Étape 4.1.8

Multipliez $14$ par $2$ .

$\frac{9 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 28}{- 71}$

Étape 4.2

Additionnez $9$ et $28$ .

$\frac{37 - 7 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6}}{- 71}$

Étape 4.3

Soustrayez $6 \sqrt{6}$ de $- 7 \sqrt{6}$ .

$\frac{37 - 13 \sqrt{6}}{- 71}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{37 - 13 \sqrt{6}}{71}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{37 - 13 \sqrt{6}}{71}$

Forme décimale :

$- 0.07262863 \dots$