Ensembles finis Exemples

$\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$

Étape 1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$ par $\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ .

$\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$ par $\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 + 3 \sqrt{x} - 9}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9}$

Étape 2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{2}{2}} - 9}$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{2}{2}} - 9}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{1} - 9}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Étape 3

Développez $(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + 2 (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $3 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{x}}^{2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{1} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez

$\frac{3 x + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} - 6}{x - 9}$

Étape 4.2

Additionnez $- 9 \sqrt{x}$ et $2 \sqrt{x}$ .

$\frac{3 x - 7 \sqrt{x} - 6}{x - 9}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 6}{x - 9}$

Étape 5.2

Réécrivez $x$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 6}{x - 9}$

Étape 5.3

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$\frac{3 u^{2} - 7 u - 6}{x - 9}$

Étape 5.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 u$ .

$\frac{3 u^{2} - 7 (u) - 6}{x - 9}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $2$ plus $- 9$

$\frac{3 u^{2} + (2 - 9) u - 6}{x - 9}$

Étape 5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 u^{2} + 2 u - 9 u - 6}{x - 9}$

Étape 5.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 u^{2} + 2 u) - 9 u - 6}{x - 9}$

Étape 5.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (3 u + 2) - 3 (3 u + 2)}{x - 9}$

Étape 5.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 2$ .

$\frac{(3 u + 2) (u - 3)}{x - 9}$

Étape 5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 3)}{x - 9}$