Ensembles finis Exemples

$4 (k - 2) - 8 = 5 k (4 k - 1)$

Étape 1

Soustrayez $5 k (4 k - 1)$ des deux côtés de l’équation.

$4 (k - 2) - 8 - 5 k (4 k - 1) = 0$

Étape 2

Simplifiez $4 (k - 2) - 8 - 5 k (4 k - 1)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 k + 4 \cdot - 2 - 8 - 5 k (4 k - 1) = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$4 k - 8 - 8 - 5 k (4 k - 1) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $8$ de $- 8$ .

$4 k - 16 - 5 k (4 k - 1) = 0$

Étape 3

Simplifiez $4 k - 16 - 5 k (4 k - 1)$ .

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 k - 16 - 5 k (4 k) - 5 k \cdot - 1 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 k - 16 - 5 \cdot 4 k \cdot k - 5 k \cdot - 1 = 0$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$4 k - 16 - 5 \cdot 4 k \cdot k + 5 k = 0$

Étape 3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1.1

Déplacez $k$ .

$4 k - 16 - 5 \cdot 4 (k \cdot k) + 5 k = 0$

Étape 3.1.4.1.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$4 k - 16 - 5 \cdot 4 k^{2} + 5 k = 0$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$4 k - 16 - 20 k^{2} + 5 k = 0$

Étape 3.2

Additionnez $4 k$ et $5 k$ .

$9 k - 16 - 20 k^{2} = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = - 20$ , $b = 9$ et $c = - 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $k$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 20 \cdot - 16)}}{2 \cdot - 20}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 20 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 20 \cdot - 16$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 80 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $80$ par $- 16$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 1280}}{2 \cdot - 20}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $1280$ de $81$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 1199$ comme $- 1 (1199)$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1199)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$ .

$k = \frac{9 \pm i \sqrt{1199}}{40}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 20 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 20 \cdot - 16$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 80 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $80$ par $- 16$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 1280}}{2 \cdot - 20}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $1280$ de $81$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- 1199$ comme $- 1 (1199)$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1199)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$ .

$k = \frac{9 \pm i \sqrt{1199}}{40}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$k = \frac{9 + i \sqrt{1199}}{40}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 20 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 20 \cdot - 16$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 80 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $80$ par $- 16$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 1280}}{2 \cdot - 20}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $1280$ de $81$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $- 1199$ comme $- 1 (1199)$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1199)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$ .

$k = \frac{9 \pm i \sqrt{1199}}{40}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$k = \frac{9 - i \sqrt{1199}}{40}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$k = \frac{9 + i \sqrt{1199}}{40}, \frac{9 - i \sqrt{1199}}{40}$