Ensembles finis Exemples

$3 {(9)}^{x - 3} = 25$

Étape 1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$3 {(9)}^{x - 3} - 25 = 0$

Étape 2

Multipliez $3 \cdot 9^{x - 3}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3 \cdot {(3^{2})}^{x - 3} - 25 = 0$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(3^{2})}^{x - 3}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 3^{2 (x - 3)} - 25 = 0$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 3^{2 x + 2 \cdot - 3} - 25 = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 \cdot 3^{2 x - 6} - 25 = 0$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + 2 x - 6} - 25 = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $6$ de $1$ .

$3^{2 x - 5} - 25 = 0$

Étape 3

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{2 x - 5} = 25$

Étape 4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{2 x - 5}) = \ln (25)$

Étape 5

Développez $\ln (3^{2 x - 5})$ en déplaçant $2 x - 5$ hors du logarithme.

$(2 x - 5) \ln (3) = \ln (25)$

Étape 6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \ln (3) - 5 \ln (3) = \ln (25)$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 x \ln (3) - 5 \ln (3) - \ln (25) = 0$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Ajoutez $5 \ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (3) - \ln (25) = 5 \ln (3)$

Étape 8.2

Ajoutez $\ln (25)$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$ par $2 \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$ par $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Étape 9.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Étape 9.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Réécrivez $\ln (25)$ comme $\ln (5^{2})$ .

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (5^{2})}{2 \ln (3)}$

Étape 10.2

Développez $\ln (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x = \frac{5}{2} + \frac{2 \ln (5)}{2 \ln (3)}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{5}{2} + \frac{2 \ln (5)}{2 \ln (3)}$

Étape 10.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$