Ensembles finis Exemples

$2 x^{\frac{2}{3}} - 11 x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{\frac{2}{3}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 11 x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{3}}$ par $u$ .

$2 u^{2} - 11 u - 6 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 u$ .

$2 u^{2} - 11 u - 6 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $1$ plus $- 12$

$2 u^{2} + (1 - 12) u - 6 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 1 u - 12 u - 6 = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$2 u^{2} + u - 12 u - 6 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} + u) - 12 u - 6 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u + 1) - 6 (2 u + 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 6) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(2 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Étape 6

Définissez $2 x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 6.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.1.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 6.2.3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 6.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 6.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 6.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 6.2.3.1.1.4

Simplifiez

$8 x = {(- 1)}^{3}$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$8 x = - 1$

Étape 6.2.4

Divisez chaque terme dans $8 x = - 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 6.2.4.1

Divisez chaque terme dans $8 x = - 1$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 6.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{8}$

Étape 7

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 6$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

Étape 7.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 6^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 6^{3}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.2.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$x = 216$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{8}, 216$