Ensembles finis Exemples

$5565.13 = 5000 {(1 + r)}^{2}$

Étape 1

Soustrayez $5000 {(1 + r)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$5565.13 - 5000 {(1 + r)}^{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $5565.13 - 5000 {(1 + r)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(1 + r)}^{2}$ comme $(1 + r) (1 + r)$ .

$5565.13 - 5000 ((1 + r) (1 + r)) = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(1 + r) (1 + r)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5565.13 - 5000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5565.13 - 5000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5565.13 - 5000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $r$ par $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $r$ par $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r + r \cdot r) = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $r$ par $r$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r + r^{2}) = 0$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $r$ et $r$ .

$5565.13 - 5000 (1 + 2 r + r^{2}) = 0$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$5565.13 - 5000 \cdot 1 - 5000 (2 r) - 5000 r^{2} = 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $- 5000$ par $1$ .

$5565.13 - 5000 - 5000 (2 r) - 5000 r^{2} = 0$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 5000$ .

$5565.13 - 5000 - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $5000$ de $5565.13$ .

$565.13 - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Étape 3

Factorisez $0.01$ à partir de $565.13 - 10000 r - 5000 r^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $0.01$ à partir de $565.13$ .

$0.01 (56513) - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $0.01$ à partir de $- 10000 r$ .

$0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r) - 5000 r^{2} = 0$

Étape 3.3

Factorisez $0.01$ à partir de $- 5000 r^{2}$ .

$0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2}) = 0$

Étape 3.4

Factorisez $0.01$ à partir de $0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r)$ .

$0.01 (56513 - 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2}) = 0$

Étape 3.5

Factorisez $0.01$ à partir de $0.01 (56513 - 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2})$ .

$0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$ par $0.01$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$ par $0.01$ .

$\frac{0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2})}{0.01} = \frac{0}{0.01}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $0.01$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2})}{0.01} = \frac{0}{0.01}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}$ par $1$ .

$56513 - 1000000 r - 500000 r^{2} = \frac{0}{0.01}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $0.01$ .

$56513 - 1000000 r - 500000 r^{2} = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - 500000$ , $b = - 1000000$ et $c = 56513$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{1000000 \pm \sqrt{{(- 1000000)}^{2} - 4 \cdot (- 500000 \cdot 56513)}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 1000000$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $2000000$ par $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 7.1.3

Additionnez $1000000000000$ et $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $1113026000000$ comme $1000^{2} \cdot 1113026$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $1000000$ à partir de $1113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $1000000$ comme $1000^{2}$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 1000000$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $2000000$ par $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 8.1.3

Additionnez $1000000000000$ et $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $1113026000000$ comme $1000^{2} \cdot 1113026$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $1000000$ à partir de $1113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $1000000$ comme $1000^{2}$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Étape 8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Étape 8.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 1000000$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 9.1.2.2

Multipliez $2000000$ par $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 9.1.3

Additionnez $1000000000000$ et $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 9.1.4

Réécrivez $1113026000000$ comme $1000^{2} \cdot 1113026$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $1000000$ à partir de $1113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez $1000000$ comme $1000^{2}$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Étape 9.3

Simplifiez $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Étape 9.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$r = - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Étape 10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}, - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}, - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Forme décimale :

$r = - 2.05500047 \dots, 0.05500047 \dots$