Ensembles finis Exemples

$5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Étape 1

Factorisez $z^{\frac{3}{5}}$ à partir de $5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $z^{\frac{3}{5}}$ à partir de $5 z^{\frac{13}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Étape 1.2

Factorisez $z^{\frac{3}{5}}$ à partir de $- 31 z^{\frac{8}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Étape 1.3

Factorisez $z^{\frac{3}{5}}$ à partir de $6 z^{\frac{3}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $z^{\frac{3}{5}}$ à partir de $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}})$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $z^{\frac{3}{5}}$ à partir de $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ et dont la somme est $b = - 31$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 31$ à partir de $- 31 z^{\frac{5}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 31$ comme $- 1$ plus $- 30$

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} + (- 1 - 30) z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}} - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}}) - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$z^{\frac{3}{5}} (z^{\frac{5}{5}} (5 z^{\frac{5}{5}} - 1) - 6 (5 z^{\frac{5}{5}} - 1)) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 z^{\frac{5}{5}} - 1$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{5}{5}} - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Étape 3

Divisez $5$ par $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Étape 4

Divisez $5$ par $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z - 6)) = 0$

Étape 5

Supprimez les parenthèses inutiles.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

$5 z - 1 = 0$

$z - 6 = 0$

Étape 7

Définissez $z^{\frac{3}{5}}$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 7.1

Définissez $z^{\frac{3}{5}}$ égal à $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $z^{\frac{3}{5}} = 0$ pour $z$ .

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Étape 7.2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1.1

Simplifiez ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2.1.1.2

Simplifiez

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.2.1

Simplifiez $0^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Étape 7.2.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z = 0^{5}$

Étape 7.2.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$z = 0$

Étape 8

Définissez $5 z - 1$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 8.1

Définissez $5 z - 1$ égal à $0$ .

$5 z - 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $5 z - 1 = 0$ pour $z$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 z = 1$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $5 z = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 z = 1$ par $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{1}{5}$

Étape 9

Définissez $z - 6$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 9.1

Définissez $z - 6$ égal à $0$ .

$z - 6 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 6$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$ vraie.

$z = 0, \frac{1}{5}, 6$