Ensembles finis Exemples

$x - 4 = \sqrt{9 x + 16}$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{9 x + 16}$ des deux côtés de l’équation.

$x - 4 - \sqrt{9 x + 16} = 0$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- \sqrt{9 x + 16}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 - \sqrt{9 x + 16} = - x$

Étape 2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$- \sqrt{9 x + 16} = - x + 4$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{9 x + 16})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 x + 16}$ comme ${(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(- {(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez ${({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(9 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(9 x + 16)}^{1} = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez

$9 x + 16 = {(- x + 4)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(- x + 4)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(- x + 4)}^{2}$ comme $(- x + 4) (- x + 4)$ .

$9 x + 16 = (- x + 4) (- x + 4)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(- x + 4) (- x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 16 = - x (- x + 4) + 4 (- x + 4)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 16 = - x (- x) - x \cdot 4 + 4 (- x + 4)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 16 = - x (- x) - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x + 16 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Étape 4.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$9 x + 16 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Étape 4.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 x + 16 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Étape 4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$9 x + 16 = 1 x^{2} - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Étape 4.3.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$9 x + 16 = x^{2} - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Étape 4.3.1.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$9 x + 16 = x^{2} - 4 x + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Étape 4.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$9 x + 16 = x^{2} - 4 x - 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 4.3.1.3.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$9 x + 16 = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Étape 4.3.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$9 x + 16 = x^{2} - 8 x + 16$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 8 x + 16 = 9 x + 16$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 8 x + 16 - 9 x = 16$

Étape 5.2.2

Soustrayez $9 x$ de $- 8 x$ .

$x^{2} - 17 x + 16 = 16$

Étape 5.3

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 17 x + 16 - 16 = 0$

Étape 5.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 17 x + 16 - 16$ .

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Étape 5.4.1

Soustrayez $16$ de $16$ .

$x^{2} - 17 x + 0 = 0$

Étape 5.4.2

Additionnez $x^{2} - 17 x$ et $0$ .

$x^{2} - 17 x = 0$

Étape 5.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 17 x$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 17 x = 0$

Étape 5.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 17 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 17 = 0$

Étape 5.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 17$ .

$x (x - 17) = 0$

Étape 5.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 17 = 0$

Étape 5.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.8

Définissez $x - 17$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $x - 17$ égal à $0$ .

$x - 17 = 0$

Étape 5.8.2

Ajoutez $17$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 17$

Étape 5.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 17) = 0$ vraie.

$x = 0, 17$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x - 4 - \sqrt{9 x + 16} = 0$ vrai.

$x = 17$