Ensembles finis Exemples

$\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (6)$

Étape 1

Soustrayez $\ln (6)$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) - \ln (6) = 0$

Étape 2.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$

Étape 3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x (x + 1)}{6})} = e^{0}$

Étape 4

Réécrivez $\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x + 1)}{6}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$ .

$\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $6 \frac{x (x + 1)}{6}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Étape 5.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x (x + 1) = 6 e^{0}$

Étape 5.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Étape 5.3.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Étape 5.3.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x = 6 e^{0}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $6 e^{0}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} + x = 6 \cdot 1$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$x^{2} + x = 6$

Étape 5.4

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 5.5

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 5.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 5.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.8

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2, - 3$