Ensembles finis Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x = 0$ .

$4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$x (4 x^{2}) - 5 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$x (4 x^{2}) + x (- 5 x) - 2 x = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$x (4 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{2}) + x (- 5 x)$ .

$x (4 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 2$ .

$x (4 x^{2} - 5 x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $4 x^{2} - 5 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $4 x^{2} - 5 x - 2$ égal à $0$ .

$4 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $4 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 5$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 32}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Additionnez $25$ et $32$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 32}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Additionnez $25$ et $32$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{5 + \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 32}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Additionnez $25$ et $32$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{5 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + \sqrt{57}}{8}, \frac{5 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (4 x^{2} - 5 x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{5 + \sqrt{57}}{8}, \frac{5 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\frac{5 + \sqrt{57}}{8}, 0), (\frac{5 - \sqrt{57}}{8}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.4

Simplifiez $4 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\frac{5 + \sqrt{57}}{8}, 0), (\frac{5 - \sqrt{57}}{8}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4