Ensembles finis Exemples

$y = {(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2)$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = {(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2)$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme ${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2) = 0$ .

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 (x - 2) = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x + 9 \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $9$ par $- 2$ .

${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x - 18 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{3} - 6 {(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{3}$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2) - 6 {(x - 2)}^{2} + 9 x - 18 = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de $- 6 {(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \cdot - 6 + 9 x - 18 = 0$

Étape 1.2.3.1.3

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \cdot - 6$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 2 - 6) + 9 x - 18 = 0$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 x - 18 = 0$

Étape 1.2.3.3

Factorisez $9$ à partir de $9 x - 18$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x) - 18 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Factorisez $9$ à partir de $- 18$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 x + 9 \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.3.3.3

Factorisez $9$ à partir de $9 x + 9 \cdot - 2$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3.4

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{2} (x - 8) + 9 (x - 2)$ .

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Étape 1.2.3.4.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{2} (x - 8)$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + 9 (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3.4.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $9 (x - 2)$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + (x - 2) \cdot 9 = 0$

Étape 1.2.3.4.3

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) ((x - 2) (x - 8)) + (x - 2) \cdot 9$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x - 8) + 9) = 0$

Étape 1.2.3.5

Développez $(x - 2) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (x (x - 8) - 2 (x - 8) + 9) = 0$

Étape 1.2.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 8 - 2 (x - 8) + 9) = 0$

Étape 1.2.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 8 - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Étape 1.2.3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 8 - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Étape 1.2.3.6.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} - 8 x - 2 x - 2 \cdot - 8 + 9) = 0$

Étape 1.2.3.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$(x - 2) (x^{2} - 8 x - 2 x + 16 + 9) = 0$

Étape 1.2.3.6.2

Soustrayez $2 x$ de $- 8 x$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 16 + 9) = 0$

Étape 1.2.3.7

Additionnez $16$ et $9$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Étape 1.2.3.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.3.8.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Étape 1.2.3.8.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 1.2.3.8.3

Réécrivez le polynôme.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 1.2.3.8.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x - 2) {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez ${(x - 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) {(x - 5)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2, 5$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0), (5, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {(0 - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0 - 2)}^{3} - 6 {(0 - 2)}^{2} + 9 (0 - 2)$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = {((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2.5

Simplifiez ${((0) - 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$y = {(- 2)}^{3} - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2.5.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$y = - 8 - 6 {((0) - 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2.5.1.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$y = - 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2.5.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = - 8 - 6 \cdot 4 + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$y = - 8 - 24 + 9 ((0) - 2)$

Étape 2.2.5.1.6

Soustrayez $2$ de $0$ .

$y = - 8 - 24 + 9 \cdot - 2$

Étape 2.2.5.1.7

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$y = - 8 - 24 - 18$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.5.2.1

Soustrayez $24$ de $- 8$ .

$y = - 32 - 18$

Étape 2.2.5.2.2

Soustrayez $18$ de $- 32$ .

$y = - 50$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 50)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0), (5, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 50)$

Étape 4