Ensembles finis Exemples

$0.1 x^{3} - 0.4 x^{2} - 1.1 x + 3$

Étape 1

Écrivez $0.1 x^{3} - 0.4 x^{2} - 1.1 x + 3$ comme une équation.

$y = 0.1 x^{3} - 0.4 x^{2} - 1.1 x + 3$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 0.1 x^{3} - 0.4 x^{2} - 1.1 x + 3$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $0.1 x^{3} - 0.4 x^{2} - 1.1 x + 3 = 0$ .

$0.1 x^{3} - 0.4 x^{2} - 1.1 x + 3 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 x^{3} - 0.4 x^{2} - 1.1 x + 3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 x^{3}$ .

$0.1 (x^{3}) - 0.4 x^{2} - 1.1 x + 3 = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $0.1$ à partir de $- 0.4 x^{2}$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 4 x^{2}) - 1.1 x + 3 = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $0.1$ à partir de $- 1.1 x$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 4 x^{2}) + 0.1 (- 11 x) + 3 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $0.1$ à partir de $3$ .

$0.1 x^{3} + 0.1 (- 4 x^{2}) + 0.1 (- 11 x) + 0.1 \cdot 30 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 x^{3} + 0.1 (- 4 x^{2})$ .

$0.1 (x^{3} - 4 x^{2}) + 0.1 (- 11 x) + 0.1 \cdot 30 = 0$

Étape 2.2.2.1.6

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (x^{3} - 4 x^{2}) + 0.1 (- 11 x)$ .

$0.1 (x^{3} - 4 x^{2} - 11 x) + 0.1 \cdot 30 = 0$

Étape 2.2.2.1.7

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (x^{3} - 4 x^{2} - 11 x) + 0.1 \cdot 30$ .

$0.1 (x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Étape 2.2.2.2.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.2.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.2.2.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.2.2.2.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.2.2.2.3.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.2.2.2.3.5

Soustrayez $16$ de $8$ .

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.2.2.2.3.6

Multipliez $- 11$ par $2$ .

$- 8 - 22 + 30$

Étape 2.2.2.2.3.7

Soustrayez $22$ de $- 8$ .

$- 30 + 30$

Étape 2.2.2.2.3.8

Additionnez $- 30$ et $30$ .

$0$

Étape 2.2.2.2.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Étape 2.2.2.2.5

Divisez $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ par $x - 2$ .

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Étape 2.2.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

Étape 2.2.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$

Étape 2.2.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 2.2.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 2.2.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.2.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.2.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

Étape 2.2.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Étape 2.2.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Étape 2.2.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Étape 2.2.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15 x + 30$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Étape 2.2.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

Étape 2.2.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x - 15$

Étape 2.2.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ comme un ensemble de facteurs.

$0.1 ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 15)) = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.3.1.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 2.2.2.3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$0.1 ((x - 2) ((x - 5) (x + 3))) = 0$

Étape 2.2.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$0.1 ((x - 2) (x - 5) (x + 3)) = 0$

Étape 2.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.2.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2, 5, - 3$

Étape 2.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0), (5, 0), (- 3, 0)$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.4 {(0)}^{2} - 1.1 \cdot 0 + 3$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.4 {(0)}^{2} - 1.1 \cdot 0 + 3$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.4 \cdot 0^{2} - 1.1 \cdot 0 + 3$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.4 {(0)}^{2} - 1.1 \cdot 0 + 3$

Étape 3.2.4

Simplifiez $0.1 {(0)}^{3} - 0.4 {(0)}^{2} - 1.1 \cdot 0 + 3$ .

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0.1 \cdot 0 - 0.4 {(0)}^{2} - 1.1 \cdot 0 + 3$

Étape 3.2.4.1.2

Multipliez $0.1$ par $0$ .

$y = 0 - 0.4 {(0)}^{2} - 1.1 \cdot 0 + 3$

Étape 3.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 0.4 \cdot 0 - 1.1 \cdot 0 + 3$

Étape 3.2.4.1.4

Multipliez $- 0.4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 1.1 \cdot 0 + 3$

Étape 3.2.4.1.5

Multipliez $- 1.1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 3$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 3$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 3$

Étape 3.2.4.2.3

Additionnez $0$ et $3$ .

$y = 3$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0), (5, 0), (- 3, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3)$

Étape 5