Ensembles finis Exemples

$x^{2} - 16 x + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$x^{2} - 16 x + {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 64 = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $x^{2} - 16 x + {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 64$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 - 10 \cdot 0 + 64 = 0$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 + 0 + 64 = 0$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 16 x + 0 + 0 + 64$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Additionnez $x^{2} - 16 x$ et $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 + 64 = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $x^{2} - 16 x$ et $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x^{2} - 16 x + 8^{2} = 0$

Étape 1.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2} = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 8$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Définissez le $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 1.2.4

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(8, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

${(0)}^{2} - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$0 + 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Étape 2.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + y^{2} - 10 y + 64$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $y^{2}$ .

$y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Étape 2.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10$ et $c = 64$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Étape 2.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.3

Soustrayez $256$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.4

Réécrivez $- 156$ comme $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (156)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.7

Réécrivez $156$ comme $2^{2} \cdot 39$ .

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Étape 2.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Étape 2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.3

Soustrayez $256$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.4

Réécrivez $- 156$ comme $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (156)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.7

Réécrivez $156$ comme $2^{2} \cdot 39$ .

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Étape 2.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Étape 2.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 5 + i \sqrt{39}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Étape 2.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.3

Soustrayez $256$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.4

Réécrivez $- 156$ comme $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (156)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.7

Réécrivez $156$ comme $2^{2} \cdot 39$ .

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Étape 2.2.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Étape 2.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 5 - i \sqrt{39}$

Étape 2.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 5 + i \sqrt{39}, 5 - i \sqrt{39}$

Étape 2.3

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

ordonnée(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(8, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 4