Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 7 \\ 1 & 6 & 9 \\ 7 & 8 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 9 \\ 8 & 2 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 6 & 9 \\ 8 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ 7 & 2 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ 7 & 2 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} 6 & 9 \\ 8 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ 7 & 2 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 & 9 \\ 8 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (6 \cdot 2 - 8 \cdot 9) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ 7 & 2 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$2 (12 - 8 \cdot 9) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ 7 & 2 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$2 (12 - 72) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ 7 & 2 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez $72$ de $12$ .

$2 \cdot - 60 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ 7 & 2 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ 7 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 60 - 1 (1 \cdot 2 - 7 \cdot 9) + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cdot - 60 - 1 (2 - 7 \cdot 9) + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $9$ .

$2 \cdot - 60 - 1 (2 - 63) + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $63$ de $2$ .

$2 \cdot - 60 - 1 \cdot - 61 + 7 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 60 - 1 \cdot - 61 + 7 (1 \cdot 8 - 7 \cdot 6)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$2 \cdot - 60 - 1 \cdot - 61 + 7 (8 - 7 \cdot 6)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $6$ .

$2 \cdot - 60 - 1 \cdot - 61 + 7 (8 - 42)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $42$ de $8$ .

$2 \cdot - 60 - 1 \cdot - 61 + 7 \cdot - 34$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $- 60$ .

$- 120 - 1 \cdot - 61 + 7 \cdot - 34$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 61$ .

$- 120 + 61 + 7 \cdot - 34$

Étape 5.1.3

Multipliez $7$ par $- 34$ .

$- 120 + 61 - 238$

Étape 5.2

Additionnez $- 120$ et $61$ .

$- 59 - 238$

Étape 5.3

Soustrayez $238$ de $- 59$ .

$- 297$