Ensembles finis Exemples

$y = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 = 0$ .

$- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Étape 1.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} + 2 x + 3 = 0$

Étape 1.2.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{3}$ dans le numérateur.

$3 (\frac{- x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{- x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 1.2.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- x^{2} + 6 x + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Étape 1.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 6$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 9)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Additionnez $36$ et $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $72$ comme $6^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Additionnez $36$ et $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $72$ comme $6^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.7.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.7.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + 3 \sqrt{2}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.8.1.3

Additionnez $36$ et $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.8.1.4

Réécrivez $72$ comme $6^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.8.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.8.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 1.2.8.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Étape 1.2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - 3 \sqrt{2}$

Étape 1.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + 3 \sqrt{2}, 3 - 3 \sqrt{2}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(3 + 3 \sqrt{2}, 0), (3 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0^{2} + 2 (0) + 3$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Étape 2.2.3

Simplifiez $- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 (0) + 3$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.3.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{3}) + 2 (0) + 3$

Étape 2.2.3.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$y = 0 + 2 (0) + 3$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 3$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 3$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$y = 3$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(3 + 3 \sqrt{2}, 0), (3 - 3 \sqrt{2}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3)$

Étape 4