Ensembles finis Exemples

$f (x) = 0.5 x^{2} + 4 x + 10$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 0.5 x^{2} + 4 x + 10$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $0.5 x^{2} + 4 x + 10 = 0$ .

$0.5 x^{2} + 4 x + 10 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 x^{2} + 4 x + 10$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 x^{2}$ .

$0.5 (x^{2}) + 4 x + 10 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $0.5$ à partir de $4 x$ .

$0.5 (x^{2}) + 0.5 (8 x) + 10 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $0.5$ à partir de $10$ .

$0.5 x^{2} + 0.5 (8 x) + 0.5 \cdot 20 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 x^{2} + 0.5 (8 x)$ .

$0.5 (x^{2} + 8 x) + 0.5 \cdot 20 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 (x^{2} + 8 x) + 0.5 \cdot 20$ .

$0.5 (x^{2} + 8 x + 20) = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $0.5 (x^{2} + 8 x + 20) = 0$ par $0.5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $0.5 (x^{2} + 8 x + 20) = 0$ par $0.5$ .

$\frac{0.5 (x^{2} + 8 x + 20)}{0.5} = \frac{0}{0.5}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $0.5$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.5 (x^{2} + 8 x + 20)}{0.5} = \frac{0}{0.5}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2} + 8 x + 20$ par $1$ .

$x^{2} + 8 x + 20 = \frac{0}{0.5}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $0.5$ .

$x^{2} + 8 x + 20 = 0$

Étape 1.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 8$ et $c = 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 4 + 2 i$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.3

Soustrayez $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Étape 1.2.8.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Étape 1.2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 4 - 2 i$

Étape 1.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 4 + 2 i, - 4 - 2 i$

Étape 1.3

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 0.5 {(0)}^{2} + 4 (0) + 10$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0.5 \cdot 0^{2} + 4 (0) + 10$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0.5 {(0)}^{2} + 4 (0) + 10$

Étape 2.2.3

Simplifiez $0.5 {(0)}^{2} + 4 (0) + 10$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0.5 \cdot 0 + 4 (0) + 10$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $0.5$ par $0$ .

$y = 0 + 4 (0) + 10$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 10$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 10$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $10$ .

$y = 10$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 10)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 10)$

Étape 4