Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$ .

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

Étape 1.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

Étape 1.2.2.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Étape 1.2.2.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 35 \cdot - 1 - 39$

Étape 1.2.2.3.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 1 + 5 - 35 \cdot - 1 - 39$

Étape 1.2.2.3.5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$4 - 35 \cdot - 1 - 39$

Étape 1.2.2.3.6

Multipliez $- 35$ par $- 1$ .

$4 + 35 - 39$

Étape 1.2.2.3.7

Additionnez $4$ et $35$ .

$39 - 39$

Étape 1.2.2.3.8

Soustrayez $39$ de $39$ .

$0$

Étape 1.2.2.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39}{x + 1}$

Étape 1.2.2.5

Divisez $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$35 x$

$39$

Étape 1.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$

Étape 1.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Étape 1.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Étape 1.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 1.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 1.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$

Étape 1.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Étape 1.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 39 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Étape 1.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							-	$39 x$	-	$39$

Étape 1.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 39 x - 39$

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$

Étape 1.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$
										$0$

Étape 1.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 4 x - 39$

Étape 1.2.2.6

Écrivez $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{2} + 4 x - 39$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{2} + 4 x - 39$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{2} + 4 x - 39 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 39$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 39)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Additionnez $16$ et $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Réécrivez $172$ comme $2^{2} \cdot 43$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Étape 1.2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Additionnez $16$ et $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4

Réécrivez $172$ comme $2^{2} \cdot 43$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{43}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Additionnez $16$ et $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4

Réécrivez $172$ comme $2^{2} \cdot 43$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Étape 1.2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{43}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Étape 2.2.4

Simplifiez ${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Étape 2.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 5 \cdot 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 35$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 39$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 39$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 39$

Étape 2.2.4.2.3

Soustrayez $39$ de $0$ .

$y = - 39$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 39)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 39)$

Étape 4