Ensembles finis Exemples

$3 x^{4} - 4 x^{2} + 10$

Étape 1

Écrivez $3 x^{4} - 4 x^{2} + 10$ comme une équation.

$y = 3 x^{4} - 4 x^{2} + 10$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 3 x^{4} - 4 x^{2} + 10$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{4} - 4 x^{2} + 10 = 0$ .

$3 x^{4} - 4 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$3 u^{2} - 4 u + 10 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.4

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 4$ et $c = 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 10)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Étape 2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $10$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.3

Soustrayez $120$ de $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.4

Réécrivez $- 104$ comme $- 1 (104)$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (104)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.7

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 2.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$ .

$u = \frac{2 \pm i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Étape 2.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $10$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.3

Soustrayez $120$ de $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.4

Réécrivez $- 104$ comme $- 1 (104)$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (104)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.7

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 2.2.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$ .

$u = \frac{2 \pm i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{2 + i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Étape 2.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $10$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.3

Soustrayez $120$ de $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.4

Réécrivez $- 104$ comme $- 1 (104)$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (104)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.7

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 2.2.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$

Étape 2.2.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$ .

$u = \frac{2 \pm i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{2 + i \sqrt{26}}{3}, \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{2 + i \sqrt{26}}{3}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{2 + i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 + i \sqrt{26}}{3}}$

Étape 2.2.11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 + i \sqrt{26}}{3}}$ .

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Étape 2.2.11.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + i \sqrt{26}}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.11.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.11.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.11.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.11.2.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.11.2.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.2.11.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.11.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2.11.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.11.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.11.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.11.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.11.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.11.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.11.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.2.11.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.11.2.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.11.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.11.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.11.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Étape 2.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 - i \sqrt{26}}{3}}$

Étape 2.2.13.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 - i \sqrt{26}}{3}}$ .

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Étape 2.2.13.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - i \sqrt{26}}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.13.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.13.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.13.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.13.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.13.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.2.13.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.13.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2.13.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.13.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.13.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.13.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.13.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.13.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.13.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.2.13.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.13.3.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.13.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.13.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.13.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.13.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.14

La solution à $3 x^{4} - 4 x^{2} + 10 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.3

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 10$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 \cdot 0^{4} - 4 {(0)}^{2} + 10$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 \cdot 0^{4} - 4 \cdot 0^{2} + 10$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 10$

Étape 3.2.4

Simplifiez $3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 10$ .

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} + 10$

Étape 3.2.4.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = 0 - 4 {(0)}^{2} + 10$

Étape 3.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 + 10$

Étape 3.2.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 10$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 10$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $10$ .

$y = 10$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 10)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 10)$

Étape 5