Ensembles finis Exemples

y = e^{- x} \cdot \ln (x)

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$ est indéfinie.

x \leq 0

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ comme

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ depuis la gauche et

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ comme

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ depuis la droite,

x = 0

$x = 0$ est une asymptote verticale.

x = 0

$x = 0$

Étape 1.3

Évaluez

lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 1.3.1

Réécrivez

e^{- x} \ln (x)

$e^{- x} \ln (x)$ comme

\frac{\ln (x)}{e^{x}}

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.3.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.3.2.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.3.2.1.3

Comme l’exposant

x

$x$ approche de

\infty

$\infty$ , la quantité

e^{x}

$e^{x}$ approche de

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.2.2

Comme

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 1.3.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 1.3.2.3.2

La dérivée de

\ln (x)

$\ln (x)$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 1.3.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ où

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Étape 1.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Étape 1.3.2.5

Multipliez

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ par

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Étape 1.3.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction

\frac{1}{x e^{x}}

$\frac{1}{x e^{x}}$ approche de

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Étape 1.4

Indiquez les asymptotes horizontales :

y = 0

$y = 0$

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales :

x = 0

$x = 0$

Asymptotes horizontales :

y = 0

$y = 0$

Asymptotes verticales :

x = 0

$x = 0$

Asymptotes horizontales :

y = 0

$y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur

x = 1

$x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

1

$1$ dans l’expression.

f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Étape 2.2.3

Le logarithme naturel de

1

$1$ est

0

$0$ .

f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Étape 2.2.4

Multipliez

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ par

0

$0$ .

f (1) = 0

$f (1) = 0$

Étape 2.2.5

La réponse finale est

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Étape 2.3

Convertissez

0

$0$ en décimale.

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Étape 3

Déterminez le point sur

x = 2

$x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

2

$2$ dans l’expression.

f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2

$2$ .

f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Étape 3.2.3

Associez

\frac{1}{e^{2}}

$\frac{1}{e^{2}}$ et

\ln (2)

$\ln (2)$ .

f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Étape 3.2.4

La réponse finale est

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Étape 3.3

Convertissez

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ en décimale.

y = 0.09380727

$y = 0.09380727$

y = 0.09380727

$y = 0.09380727$

Étape 4

Déterminez le point sur

x = 3

$x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

3

$3$ dans l’expression.

f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Étape 4.2.3

Associez

\frac{1}{e^{3}}

$\frac{1}{e^{3}}$ et

\ln (3)

$\ln (3)$ .

f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Étape 4.3

Convertissez

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ en décimale.

y = 0.05469668

$y = 0.05469668$

y = 0.05469668

$y = 0.05469668$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur

x = 0

$x = 0$ et les points

(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)

$(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Asymptote verticale :

x = 0

$x = 0$

\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Étape 6