Ensembles finis Exemples

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ est indéfinie.

$x \leq - 5, x = 0$

Étape 1.2

Comme $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 5$ depuis la gauche et $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 5$ depuis la droite, $x = - 5$ est une asymptote verticale.

$x = - 5$

Étape 1.3

Comme $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 5, 0$

Étape 1.5

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Étape 1.7

Comme $n < m$ , l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

$y = 0$

Étape 1.8

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 5, 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes verticales : $x = - 5, 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $5 \ln (1 + 5)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Étape 2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.1

Additionnez $1$ et $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Étape 2.2.3.2

Élevez $6$ à la puissance $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Étape 2.2.4

Divisez $\ln (7776)$ par $1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

Étape 2.2.5

La réponse finale est $\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

Étape 2.3

Convertissez $\ln (7776)$ en décimale.

$y = 8.95879734$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $5 \ln (2 + 5)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.3.1

Additionnez $2$ et $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Étape 3.2.3.2

Élevez $7$ à la puissance $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $\frac{\ln (16807)}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Étape 3.2.5

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (16807)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ en décimale.

$y = 2.43238768$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $5 \ln (3 + 5)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Additionnez $3$ et $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Étape 4.2.3.2

Élevez $8$ à la puissance $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $\ln (32768)$ comme $\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Étape 4.2.5

Développez $\ln (2^{15})$ en déplaçant $15$ hors du logarithme.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun à $15$ et $9$ .

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Étape 4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Étape 4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Étape 4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Étape 4.2.7

Simplifiez $5 \ln (2)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Étape 4.2.8

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Étape 4.2.9

Réécrivez $\frac{\ln (32)}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Étape 4.2.10

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (32)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.2.11

La réponse finale est $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ en décimale.

$y = 1.1552453$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = - 5, 0$ et les points $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Asymptote verticale : $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Étape 6