Ensembles finis Exemples

$56$ , $78$ , $123$ , $34$ , $67$ , $91$ , $20$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{56 + 78 + 123 + 34 + 67 + 91 + 20}{7}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $56$ et $78$ .

$\overline{x} = \frac{134 + 123 + 34 + 67 + 91 + 20}{7}$

Étape 1.2.2

Additionnez $134$ et $123$ .

$\overline{x} = \frac{257 + 34 + 67 + 91 + 20}{7}$

Étape 1.2.3

Additionnez $257$ et $34$ .

$\overline{x} = \frac{291 + 67 + 91 + 20}{7}$

Étape 1.2.4

Additionnez $291$ et $67$ .

$\overline{x} = \frac{358 + 91 + 20}{7}$

Étape 1.2.5

Additionnez $358$ et $91$ .

$\overline{x} = \frac{449 + 20}{7}$

Étape 1.2.6

Additionnez $449$ et $20$ .

$\overline{x} = \frac{469}{7}$

Étape 1.3

Divisez $469$ par $7$ .

$\overline{x} = 67$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $56$ en une valeur décimale.

$56$

Étape 2.2

Convertissez $78$ en une valeur décimale.

$78$

Étape 2.3

Convertissez $123$ en une valeur décimale.

$123$

Étape 2.4

Convertissez $34$ en une valeur décimale.

$34$

Étape 2.5

Convertissez $67$ en une valeur décimale.

$67$

Étape 2.6

Convertissez $91$ en une valeur décimale.

$91$

Étape 2.7

Convertissez $20$ en une valeur décimale.

$20$

Étape 2.8

Les valeurs simplifiées sont $56, 78, 123, 34, 67, 91, 20$ .

$56, 78, 123, 34, 67, 91, 20$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(56 - 67)}^{2} + {(78 - 67)}^{2} + {(123 - 67)}^{2} + {(34 - 67)}^{2} + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $67$ de $56$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 11)}^{2} + {(78 - 67)}^{2} + {(123 - 67)}^{2} + {(34 - 67)}^{2} + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 11$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + {(78 - 67)}^{2} + {(123 - 67)}^{2} + {(34 - 67)}^{2} + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $67$ de $78$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 11^{2} + {(123 - 67)}^{2} + {(34 - 67)}^{2} + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.4

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + {(123 - 67)}^{2} + {(34 - 67)}^{2} + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $67$ de $123$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 56^{2} + {(34 - 67)}^{2} + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.6

Élevez $56$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + {(34 - 67)}^{2} + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $67$ de $34$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + {(- 33)}^{2} + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.8

Élevez $- 33$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + 1089 + {(67 - 67)}^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.9

Soustrayez $67$ de $67$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + 1089 + 0^{2} + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + 1089 + 0 + {(91 - 67)}^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.11

Soustrayez $67$ de $91$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + 1089 + 0 + 24^{2} + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.12

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + 1089 + 0 + 576 + {(20 - 67)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.13

Soustrayez $67$ de $20$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + 1089 + 0 + 576 + {(- 47)}^{2}}{7 - 1}}$

Étape 5.1.14

Élevez $- 47$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{121 + 121 + 3136 + 1089 + 0 + 576 + 2209}{7 - 1}}$

Étape 5.1.15

Additionnez $121$ et $121$ .

$s = \sqrt{\frac{242 + 3136 + 1089 + 0 + 576 + 2209}{7 - 1}}$

Étape 5.1.16

Additionnez $242$ et $3136$ .

$s = \sqrt{\frac{3378 + 1089 + 0 + 576 + 2209}{7 - 1}}$

Étape 5.1.17

Additionnez $3378$ et $1089$ .

$s = \sqrt{\frac{4467 + 0 + 576 + 2209}{7 - 1}}$

Étape 5.1.18

Additionnez $4467$ et $0$ .

$s = \sqrt{\frac{4467 + 576 + 2209}{7 - 1}}$

Étape 5.1.19

Additionnez $4467$ et $576$ .

$s = \sqrt{\frac{5043 + 2209}{7 - 1}}$

Étape 5.1.20

Additionnez $5043$ et $2209$ .

$s = \sqrt{\frac{7252}{7 - 1}}$

Étape 5.1.21

Soustrayez $1$ de $7$ .

$s = \sqrt{\frac{7252}{6}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $7252$ et $6$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $7252$ .

$s = \sqrt{\frac{2 (3626)}{6}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 3626}{2 \cdot 3}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 3626}{2 \cdot 3}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \sqrt{\frac{3626}{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{3626}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{3626}}{\sqrt{3}}$ .

$s = \frac{\sqrt{3626}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $3626$ comme $7^{2} \cdot 74$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $49$ à partir de $3626$ .

$s = \frac{\sqrt{49 (74)}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$s = \frac{\sqrt{7^{2} \cdot 74}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$s = \frac{7 \sqrt{74}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{7 \sqrt{74}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$s = \frac{7 \sqrt{74}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $\frac{7 \sqrt{74}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{7 \sqrt{74} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{7 \sqrt{3 \cdot 74}}{3}$

Étape 5.7.2

Multipliez $3$ par $74$ .

$s = \frac{7 \sqrt{222}}{3}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$34.8$