Ensembles finis Exemples

$y = \frac{9}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{9}{x^{2} - 1} = y$ .

$\frac{9}{x^{2} - 1} = y$

Étape 2

Factorisez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{9}{x^{2} - 1^{2}} = y$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(x + 1) (x - 1)$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ par $(x + 1) (x - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 = y ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 = y (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 = y (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$9 = y (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$9 = y (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x - 1)$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$9 = y (x^{2} + 0 - 1)$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$9 = y (x^{2} - 1)$

Étape 4.3.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 = y x^{2} + y \cdot - 1$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$9 = y x^{2} - 1 \cdot y$

Étape 4.3.4

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$9 = y x^{2} - y$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $y x^{2} - y = 9$ .

$y x^{2} - y = 9$

Étape 5.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$y x^{2} = 9 + y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y x^{2} = 9 + y$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y x^{2} = 9 + y$ par $y$ .

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{9}{y} + 1$

Étape 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$ .

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Étape 5.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + \frac{y}{y}}$

Étape 5.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{9 + y}{y}}$

Étape 5.5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{9 + y}{y}}$ comme $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$

Étape 5.5.4

Multipliez $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Étape 5.5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Étape 5.5.5.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Étape 5.5.5.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Étape 5.5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Étape 5.5.5.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 5.5.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Étape 5.5.5.6.5

Simplifiez

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y}$

Étape 5.5.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$

Étape 5.5.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$