Ensembles finis Exemples

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Étape 2

Factorisez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2} - 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(x - 4) (x - 3), 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(x - 4) (x - 3)$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ par $(x - 4) (x - 3)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ par $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $(x - 4) (x - 3)$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Développez $(x - 4) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Étape 4.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Étape 4.3.2.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Étape 4.3.4.2

Déplacez $12$ à gauche de $y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Étape 5.2

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Étape 5.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = y - 1$ , $b = - 7 y$ et $c = 12 y + 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Appliquez la règle de produit à $- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.2

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.5

Développez $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.6.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.6.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.6.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.6.1.3

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.6.1.5

Multipliez $12$ par $4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.6.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.6.2

Additionnez $- 4 y$ et $48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.6.7

Soustrayez $48 y^{2}$ de $49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$