Ensembles finis Exemples

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

Étape 4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

Étape 5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

Étape 6

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

Étape 7

Réécrivez $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} + x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + x = e^{2}$

Étape 8.2

Soustrayez $e^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

Étape 8.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 1$ et $c = - e^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 8.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Étape 8.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Étape 9

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ vrai.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Forme décimale :

$x = 1.68830545 \dots$