Ensembles finis Exemples

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)) - \log_{b} (20)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Multipliez $\frac{2}{3} (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25))$ .

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Étape 1.1.1.1

Associez $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ et $\frac{2}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3} \log_{b} (25) - \log_{b} (20)$

Étape 1.1.1.2

Associez $\frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3}$ et $\log_{b} (25)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2 \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 1.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$ .

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Étape 2.1.1

Pour écrire $64$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2.1.2

Associez $64$ et $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $64$ par $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{128 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $128$ et $1$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{129}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.1

Simplifiez $2 \log_{b} (\frac{129}{2})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} ({(\frac{129}{2})}^{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.5.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{129}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{129^{2}}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2.1.5.2.2

Élevez $129$ à la puissance $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 2.1.5.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{b} (x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} + \log_{b} (20) = 0$

Étape 4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x \cdot 20) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

Étape 5

Déplacez $20$ à gauche de $x$ .

$\log_{b} (20 x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

Étape 6

Ajoutez $\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$

Étape 7

Réécrivez $\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}} = 20 x$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ .

$20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ par $20$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ par $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$