Ensembles finis Exemples

$10 ({1.05}^{x}) = 11 ({1.04}^{x})$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (10 \cdot {1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (10 \cdot {1.05}^{x})$ comme $\ln (10) + \ln ({1.05}^{x})$ .

$\ln (10) + \ln ({1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({1.05}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (11 \cdot {1.04}^{x})$ comme $\ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$ .

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$

Étape 3.2

Développez $\ln ({1.04}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $\ln (10)$ et $x \ln (1.05)$ .

$x \ln (1.05) + \ln (10) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\ln (11)$ et $x \ln (1.04)$ .

$x \ln (1.05) + \ln (10) = x \ln (1.04) + \ln (11)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (1.05) + \ln (10) - x \ln (1.04) - \ln (11) = 0$

Étape 7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) + \ln (\frac{10}{11}) = 0$

Étape 8

Soustrayez $\ln (\frac{10}{11})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Étape 9

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1.05) - x \ln (1.04)$ .

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Étape 9.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1.05)$ .

$x (\ln (1.05)) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Étape 9.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (1.04)$ .

$x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Étape 9.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04))$ .

$x (\ln (1.05) - 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Étape 10

Réécrivez $- 1 \ln (1.04)$ comme $- \ln (1.04)$ .

$x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ par $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ par $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Forme décimale :

$x = 9.95983778 \dots$