Ensembles finis Exemples

$\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} = 4$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt[3]{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 4 - \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$x^{2} = 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$x^{2} = 64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} = 64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$x^{2} = 64 + 48 (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt[3]{y^{2}}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 (1 {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.8

Multipliez ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.9

Réécrivez ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.10

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{4}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.11

Factorisez $y^{3}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{3} y} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 (y \sqrt[3]{y}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.13

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt[3]{y^{2}}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} + {(- 1)}^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$

Étape 3.3.1.2.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$

Étape 3.3.1.2.15

Réécrivez ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ comme $y^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.15.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y^{2}}$ comme $y^{\frac{2}{3}}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Étape 3.3.1.2.15.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2}{3} \cdot 3}$

Étape 3.3.1.2.15.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.3.1.2.15.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{6}{3}}$

Étape 3.3.1.2.15.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 3.3.1.2.15.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

Étape 3.3.1.2.15.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.2.15.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}$

Étape 3.3.1.2.15.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}$

Étape 3.3.1.2.15.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2}{1}}$

Étape 3.3.1.2.15.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Étape 4.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Étape 4.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Étape 4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$