Ensembles finis Exemples

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{{(y - 2)}^{2}}{16}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = 1 - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16}$

Étape 2

Simplifiez $1 - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16}$ .

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Étape 2.1

Associez en une fraction.

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Étape 2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{16}{16} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16}$

Étape 2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{16 - {(y - 2)}^{2}}{16}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{4^{2} - {(y - 2)}^{2}}{16}$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = y - 2$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(4 + y - 2) (4 - (y - 2))}{16}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(y + 2) (4 - (y - 2))}{16}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(y + 2) (4 - y - - 2)}{16}$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(y + 2) (4 - y + 2)}{16}$

Étape 2.2.3.4

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(y + 2) (- y + 6)}{16}$

Étape 2.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(y + 2) (- (y) + 6)}{16}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(y + 2) (- (y) - 1 (- 6))}{16}$

Étape 2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 6)$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(y + 2) (- (y - 6))}{16}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- (y - 6)$ comme $- 1 (y - 6)$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = \frac{(y + 2) (- 1 (y - 6))}{16}$

Étape 2.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = - \frac{(y + 2) (y - 6)}{16}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = 9 (- \frac{(y + 2) (y - 6)}{16})$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{{(x + 4)}^{2}}{9} = 9 (- \frac{(y + 2) (y - 6)}{16})$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 4)}^{2} = 9 (- \frac{(y + 2) (y - 6)}{16})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $9 (- \frac{(y + 2) (y - 6)}{16})$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $9 (- \frac{(y + 2) (y - 6)}{16})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

${(x + 4)}^{2} = - 9 \frac{(y + 2) (y - 6)}{16}$

Étape 4.2.1.1.2

Associez $- 9$ et $\frac{(y + 2) (y - 6)}{16}$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{- 9 ((y + 2) (y - 6))}{16}$

Étape 4.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x + 4)}^{2} = - \frac{9 (y + 2) (y - 6)}{16}$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 4 = \pm \sqrt{- \frac{9 (y + 2) (y - 6)}{16}}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{9 (y + 2) (y - 6)}{16}}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $- \frac{9 (y + 2) (y - 6)}{16}$ comme ${(\frac{3}{2^{2}})}^{2} \cdot (- (y + 2) (y - 6))$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9 (y + 2) (y - 6)$ .

$x + 4 = \pm \sqrt{- \frac{3^{2} ((y + 2) (y - 6))}{16}}$

Étape 6.1.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$x + 4 = \pm \sqrt{- \frac{3^{2} ((y + 2) (y - 6))}{4^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{3^{2} ((y + 2) (y - 6))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$x + 4 = \pm \sqrt{- ({(\frac{3}{4})}^{2} ((y + 2) (y - 6)))}$

Étape 6.1.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{3}{4})}^{2}$ .

$x + 4 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} \cdot - 1 (y + 2) (y - 6)}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x + 4 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2^{2}})}^{2} \cdot - 1 (y + 2) (y - 6)}$

Étape 6.1.6

Ajoutez des parenthèses.

$x + 4 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2^{2}})}^{2} \cdot - 1 ((y + 2) (y - 6))}$

Étape 6.1.7

Ajoutez des parenthèses.

$x + 4 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2^{2}})}^{2} \cdot (- (y + 2) (y - 6))}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x + 4 = \pm \frac{3}{2^{2}} \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}$

Étape 6.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x + 4 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}$

Étape 6.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $\sqrt{- (y + 2) (y - 6)}$ .

$x + 4 = \pm \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + 4 = \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4}$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4} - 4$

Étape 7.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + 4 = - \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4}$

Étape 7.4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4} - 4$

Étape 7.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4} - 4$

$x = - \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4} - 4$

$x = \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4} - 4$

$x = - \frac{3 \sqrt{- (y + 2) (y - 6)}}{4} - 4$